Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 11.4 - Ex. 15
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Para saber se essa série converge, vamos usar o teste desta seção do livro que é o teste da comparação.
Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida e outra não.
Supondo que nós temos duas séries: e , podemos concluir algumas coisas:
- Se e nós sabemos que diverge, então também diverge.
- Se e nós sabemos que converge, então também converge.
- Para outros casos não podemos concluir nada.
Passo 2
Para esta série, vamos tentar provar que ela converge, para isso precisamos pensar em uma série para compararmos. Se queremos provar que a série converge, precisamos de uma série convergente que seus termos sejam maiores que o da nossa série.
Se chamarmos o termo geral da nossa série de , podemos dizer que
E isso vale para .
Para compararmos, vamos usar
Na série podemos tirar o multiplicando pelas propriedades das séries
Mas porque essa série?
Primeiramente, porque nós podemos comprovar a convergência desta série, pela série-p, temos um denominador com grau , logo a série é convergente.
Passo 3
Outro motivo pelo qual vamos usar é que
Porque isso acontece? Vamos analisar isso melhor
Estamos comparando duas frações com um mesmo denominador, então só precisamos comparar o numerador, , focando só na parte do que vai ser ou , dependendo do valor de , sendo positivo em valores pares e negativos em valores impares, fazendo com que o numerador fique alterando entre e , dependendo do valor de , mas sabemos que, se for ou , a comparação dos numeradores está certa.
Então como e nós sabemos que converge, pelo teste da comparação
É convergente.
Resposta
Converge.