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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 14.4 - Ex. 18

Determine a aproximação linear da função f x , y = ln ⁡ x - 3 y em ( 7 ,   2 ) e use-a para aproximar f 6,9 ,   2,06 . Ilustre, traçando o gráfico da função e do plano tangente.

Passo 1

Show de bola, galera. Questãozinha de aproximação linear, vamos lá!

A questão nos dá a função f e pede para encontrarmos a linearização dela, mas o que é a linearização?

A gente viu que a equação do plano tangente à função em x 0 , y 0 ,   z 0 é uma boa aproximação da função nas proximidades do ponto x 0 , y 0 .

De forma que podemos transformar aquela equação em

L ( x , y ) = z 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

Onde L ( x , y ) é a nossa aproximação linear, em que para valores próximos de x 0 , y 0 podemos considerar

L ( x , y ) = f x , y

Então agora vamos encontrar todos os termos dessa função L ( x , y ) e depois substituir o ponto ( 6,9 ,   2,06 ) !

Passo 2

Até agora nós temos a função

f x , y = ln ⁡ x - 3 y

E o ponto

x 0 , y 0 = ( 7 ,   2 )

Então, para completar a nossa equação L ( x , y ) ainda precisamos encontrar z 0 e as duas derivadas parciais f x x 0 , y 0 e f y ( x 0 , y 0 ) ! Então vamos seguir essa ordem.

O valor de z 0 é o valor da função no ponto x 0 , y 0 = ( 7 ,   2 ) então

f 7 , 2 = ln ⁡ 7 - 3 ⋅ 2

f x , y = 0

Passo 3

Agora vamos encontrar f x x 0 , y 0 , para isso fixamos a variável y como constante e derivamos a função em x

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x ln ⁡ x - 3 y

f x = 1 x - 3 y

E substituindo o ponto ( 7,2 )

f x 7 , 2 = 1

Agora vamos encontrar f y x 0 , y 0 , para isso fixamos a variável x como constante e derivamos a função em y

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y ln ⁡ x - 3 y

f y = - 3 x - 3 y

E substituindo o ponto ( 7,2 )

f y 7,2 = - 3

Passo 4

Agora que temos todos os valores, podemos substituir na fórmula da aproximação linear!

L ( x , y ) = z 0 + f x x 0 , y 0 x - x 0 + f y ( x 0 , y 0 ) ( y - y 0 )

L x , y = x - 7 - 3 ⋅ ( y - 2 )

L x , y = x - 3 y - 1

Nice, agora substituindo o ponto ( 6,9 ,   2,06 ) temos

L 6,9 ,   2,06 = 6,9 - 2,06 ⋅ y - 1

L 6,9 ,   2,06 = - 0,28

Passo 5

Agora vamos ilustrar essa aproximação e a função original em um gráfico! Mas como fazer isso? Temos algumas opções: MATLAB, Symbolab, GeoGebra...

Recomendo o GeoGebra pois, além de gratuito, roda no navegador!

Jogando as nossas funções no campo “Entrada” da Calculadora 3D do GeoGebra nós temos o seguinte:

Observe que, próximo do ponto, realmente

L ( x , y ) ≈ f x , y

Resposta

L 6,9 ,   2,06 = - 0,28

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