Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 10.3 - Ex. 66
Encontre os pontos na curva dada onde a reta tangente é horizontal ou vertical.
Passo 1
A gente tem a curva polar:
E a gente quer encontrar quais os pontos dessa curva, uma reta tangente é horizontal ou vertical.
Para isso, a gente precisa calcular a inclinação da reta tangente.
Para calcular a inclinação da reta tangente basta usar a fórmula:
Para achar os pontos onde a tangente é horizontal é necessário que:
Para achar os pontos onde a tangente é vertical é necessário que:
Passo 2
Para isso vamos achar o que é
Antes de substituir, precisamos achar o
Aplicando a raiz quadrada em ambos os lados
Substituindo
Agora achando , substiruindo
Passo 3
Para achar as tangentes horizontais, vamos derivar
Como a gente tem o produto de funções e uma composição de função em a gente precisa utilizar a regra do produto e a regra da cadeia.
A regra do produto diz que:
E a regra da cadeia:
Então derivando:
Igualando a zero
Multiplicando equação por
E essa equação é uma soma de ângulos dentro do seno
Onde e
Então,
E o seno zera para os ângulos e
Passo 4
Para achar as tangentes verticais, vamos derivar :
Como a gente tem o produto de funções e uma composição de função em a gente precisa utilizar a regra do produto e a regra da cadeia.
A regra do produto diz que:
E a regra da cadeia:
Então a gente vai derivar:
Igualando a zero
Multiplicando a equação por
E isso é uma soma de ângulos dentro do cosseno
O cosseno zera nos ângulos e , então
Passo 5
Como não tivemos ângulos que tiveram e , todos os ângulos que achamos serão pontos críticos.
Para finalizar agora e sabermos os pontos exatos, basta calcular para cada achado.
Para tangentes horizontais, com e
Então os pontos que têm tangentes horizontais, no formato são e .
Para tangentes verticais, com e
Então os pontos que têm tangentes verticais, no formato são e .
Resposta
Horizontais: e .
Verticais: e .