Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 17
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Tranquilo, gente?
O enunciado pede pra gente definir se esta série doida é convergente ou divergente.
Sei que bateu o desespero. Por isso vamos chutar e fazer pelo Teste de Comparação.
Uma nova série será desenvolvida pelos termos dominantes do numerador e denominador da que nos foi dada pra que a gente possa comparar. O termo dominante no numerador é o 1 mesmo que é o único termo. O do denominador é a maior potência de :
Acabamos descobrindo uma série harmônica, sempre divergente!
De acordo com o teste da comparação, se a nossa série for sempre maior que uma outra série divergente, então ambas são divergentes. No caso, nosso teste de comparação é divergente, então a gente vai ver se a nossa é maior.
Passo 2
Agora vamos fazer a comparação, podendo colocar um termo com o sinal de maior ou menor. De acordo com o que falamos no passo 1 queremos que nossa série seja maior que a série de comparação:
Multiplicando meio pelos extremos:
Iiih deu errado. Essa afirmação não é verdadeira, então não podemos concluir que a série é divergente. Não por esse caminho. Precisamos procurar uma outra forma de resolver.
Neste caso vamos tentar o Teste de Comparação no Limite!
Passo 3
Suponha que seja a série que nos deram, e a série que iremos usar para comparar.
Se fizermos
Agora presta atenção nisso!
Se for um número finito e , então ambas as séries tem o mesmo comportamento (ou convergem ou divergem).
Passo 4
Aplicando na fórmula:
A fração do denominador multiplica invertida:
Fatorando no denominador e simplificando:
O sai da raiz:
Agora simplificamos:
Calculando o limite:
Como tende a zero, então:
Veja que, se o resultado do limite deu um valor finito e positivo, a gente pode fazer a comparação. E como é uma série divergente, então a série dada na questão também só pode ser divergente!
Resposta
Série divergente.