Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 10
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Essa questão pode ser resolvida usando teste de comparação. A ideia é comprar uma série dada com uma que a gente já sabe ser convergente ou divergente. Ao usarmos o teste de comparação, devemos, é claro, ter algumas séries conhecidas já na manga. Na maior parte do tempo usamos uma destas séries:
- Uma série [ converge se e diverge se ];
- Uma série geométrica [ converge se e diverge se ].
Portanto, se temos uma série e outra (a série a ser comparada) com termos positivos:
- Se for convergente e para todo , então também será convergente;
- Se for divergente e para todo , então também será divergente.
Passo 2
Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:
Essa série pode ser aproximada por uma série igual a
que assume valores igual ou maior que a da série original. No entanto, ainda não é a melhor série para nós usarmos no Teste da Comparação. A série que melhor nos remete a essa segunda mostrada é:
Comparando essas séries temos:
pois o lado esquerdo tem um denominador maior! Esse formato de série é bem parecido com um apresentado no passo anterior, não é? Ela é uma série p! E como , essa série é convergente! Portanto
é convergente pelo Teste de Comparação.
Resposta
A série é convergente!