Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 33
Use a soma dos dez primeiros termos para aproximar a soma da série. Estime o erro.
Passo 1
E aí, amigos! Como estão?
Aqui primeiro vamos precisar calcular os 10 primeiros termos da soma da nossa série:
Cuja expressão é:
Calculando termo a termo com
Depois precisamos achar o erro dessa aproximação, ou seja, a diferença entre o valor da soma dos 10 primeiros termos e o real valor da soma até o enésimo termo.
Esse erro é dado por:
Mas não é nossa série em função de , mas sim uma outra série que já sabemos que converge, em função de , onde . Dessa forma estamos usando o Teste da Comparação para achar o valor do nosso resto.
Note que para achar esse erro vamos ter uma integral imprópria (infinito nos limites de integração). A gente resolve assim:
Já já vamos entender certinho!
Passo 2
Primeiro de tudo, vamos calcular a soma dos dez primeiros termos dessa série.
Ou seja, a soma dos 10 primeiros termos da nossa sequência é:
Passo 3
Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:
Essa série pode ser aproximada por uma série igual a
Escolhemos essa série como pois é uma série parecida com a que temos, mas aqui nós sabemos que ela converge, já que é uma série-p com e que é maior que .
Na comparação das duas, temos:
Passo 4
Queremos estimar o erro dessa aproximação. Podemos escrever a seguinte relação aqui:
Temos uma integral imprópria para ser resolvida. Pra isso, nós precisaremos usar uma propriedade que envolve limites:
Desse modo, temos:
Resolvendo a integral, ficaremos com:
Agora aplicamos os limites de integração e .
Para , temos:
Resolvendo o limite, vemos que o primeiro termo da soma vai para zero quando , sobrando só nossa constante:
Resposta
O valor da soma dos dez primeiros termos da série é:
O erro estimado é: