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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 14

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(root(3)((3 n^4 + 1)))

Passo 1

Essa questão pode ser resolvida usando teste de comparação. A ideia é comprar uma série dada com uma que a gente já sabe ser convergente ou divergente. Ao usarmos o teste de comparação, devemos, é claro, ter algumas séries conhecidas já na manga. Na maior parte do tempo usamos uma destas séries:

  • Uma série p [ sum 1 // n^p converge se p > 1 e diverge se p <= 1 ];
  • Uma série geométrica [ sum a r^(n - 1) converge se |r| < 1 e diverge se |r| >= 1 ].

Portanto, se temos uma série sum a_n e outra sum b_n (a série a ser comparada) com termos positivos:

  1. Se sum b_n for convergente e a_n <= b_n para todo n , então sum a_n também será convergente;
  2. Se sum b_n for divergente e a_n >= b_n para todo n , então sum a_n também será divergente.

Passo 2

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(root(3)((3 n^4 + 1)))

Essa série pode ser aproximada por uma série igual a

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(root(3)(3 n^4)) = sum_(n = 1)^(oo) ((1)/(3 n^4))^((1)/(3)) = sum_(n = 1)^(oo) ((1)/(3))^((1)/(3)) * ((1)/(n^4))^((1)/(3)) = ((1)/(3))^((1)/(3)) sum_(n = 1)^(oo) ((1)/(n^4))^((1)/(3))

Comparando essas séries temos:

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(root(3)((3 n^4 + 1))) < ((1)/(3))^((1)/(3)) sum_(n = 1)^(oo) ((1)/(n^4))^((1)/(3))

Esse formato de série é bem parecido com um apresentado no passo anterior, não é? Ela é uma série p ! E como p = (4)/(3) > 1 , essa série é convergente! Portanto

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(root(3)((3 n^4 + 1)))

é convergente pelo Teste de Comparação.

Resposta

A série é convergente!

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