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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.4 - Ex. 20

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (n^2 + n + 1)/(n^4 + n^2)

Passo 1

Essa questão pode ser resolvida usando teste de comparação de limite. Suponha que sum a_n (a série em questão) e sum b_n (a série para comparação) sejam séries com termos positivos. Se

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

onde c é um número finito e c > 0 , então ambas as séries convergem ou ambas as séries divergem. O uso desse teste é necessário quando não temos certeza sobre o quão grande ou pequeno pode ficar o valor da série original. Na nossa questão temos somas no numerador e denominador, causando essa dúvida.

Passo 2

Vamos olhar a nossa questão! Temos a seguinte série:

sum_(n = 1)^(oo) (n^2 + n + 1)/(n^4 + n^2)

Essa série pode ser aproximada por uma série igual a

sum_(n = 1)^(oo) (1)/(n^2)

Montando o limite do teste de comparação de limite, temos:

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((n^2 + n + 1)/(n^4 + n^2))/((1)/(n^2))

underset(n -> oo)(lim) (n^2 + n + 1)/(n^4 + n^2) * n^2 = underset(n -> oo)(lim) (n^4 + n^3 + n^2)/(n^4 + n^2)

Vamos dividir o numerador e o denominador por n^4 . Assim,

underset(n -> oo)(lim) ((n^4 + n^3 + n^2)/(n^4))/((n^4 + n^2)/(n^4)) = underset(n -> oo)(l i m) (1 + (1)/(n) + (1)/(n^2))/(1 + (1)/(n^2)) = (1 + 0 + 0)/(1 + 0) = 1 != 0

Como a série sum_(n = 1)^(oo) 1 // n^2 é uma série p , com p = 2 > 1 a série é convergente! Logo, pelo teste de comparação de limite, a série sum_(n = 1)^(oo) (n^2 + n + 1)/(n^4 + n^2) é convergente!

Resposta

A série é convergente!

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