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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.4 - Ex. 20

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (n + 4^n)/(n + 6^n)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (n + 4^n)/(n + 6^n)

Para comparar usaremos a série geométrica similar a série que estamos analisando, mas sem o n somando no numerador e denominador

b_n = (4^n)/(6^n)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((n + 4^n)/(n + 6^n))/((4^n)/(6^n))

Fazendo a divisão de frações

= underset(n -> oo)(lim) (n + 4^n)/(n + 6^n) * (6^n)/(4^n)

Vamos dividir em duas frações

= underset(n -> oo)(lim) (6^n)/(n + 6^n) * (n + 4^n)/(4^n)

Colocando 6^n em evidencia na primeira e 4^n na segunda

= underset(n -> oo)(lim) (6^n)/(((n)/(6^n) + 1) 6^n) * (((n)/(4^n) + 1) 4^n)/(4^n) = underset(n -> oo)(lim) ((n)/(4^n) + 1)/((n)/(6^n) + 1)

Aplicando as propriedades do limite

underset(n -> oo)(lim) ((n)/(4^n) + 1)/((n)/(6^n) + 1) = (underset(n -> oo)(l i m) ((n)/(4^n) + 1))/(underset(n -> oo)(l i m) ((n)/(6^n) + 1)) = (underset(n -> oo)(l i m) (n)/(4^n) + underset(n -> oo)(l i m) 1)/(underset(n -> oo)(l i m) (n)/(6^n) + underset(n -> oo)(l i m) 1)

Nos limites underset(n -> oo)(l i m) (n)/(4^n) e underset(n -> oo)(l i m) (n)/(6^n) , temos uma indeterminação oo // oo , então aplicando L’Hospital em cada um

underset(n -> oo)(l i m) (n)/(4^n) = underset(n -> oo)(l i m) (1)/(4^n ln 4) = 0

underset(n -> oo)(l i m) (n)/(6^n) = underset(n -> oo)(l i m) (1)/(6^n ln 6) = 0

Então voltando ao limite

(underset(n -> oo)(l i m) (n)/(4^n) + underset(n -> oo)(l i m) 1)/(underset(n -> oo)(l i m) (n)/(6^n) + underset(n -> oo)(l i m) 1) = (0 + 1)/(0 + 1) = 1

Como 1 > 0 e a série geométrica de r = 4 // 6 converge, nossa série

sum_(n = 1)^(oo) (n + 4^n)/(n + 6^n)

Também converge.

Resposta

Converge.

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