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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.4 - Ex. 24

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 3)^(oo) (n^2 - 5 n)/(n^3 + n + 1)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (n^2 - 5 n)/(n^3 + n + 1)

Para comparar usaremos a série similar a série que estamos analisando, com um polinômio de segundo grau no numerador e um polinômio de terceiro grau no denominador

b_n = (n^2)/(n^3) = (1)/(n)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((n^2 - 5 n)/(n^3 + n + 1))/((1)/(n))

Fazendo a divisão de frações

= underset(n -> oo)(lim) (n^2 - 5 n)/(n^3 + n + 1) * n

Colocando n^2 em evidencia no numerador e n^3 no denominador

= underset(n -> oo)(lim) (n^2 (1 - (5)/(n)))/(n^3 (1 + (1)/(n^2) + (1)/(n^3))) * n

Simplificando n^3

= underset(n -> oo)(lim) ((1 - (5)/(n)))/((1 + (1)/(n^2) + (1)/(n^3))) = 1

Como 1 > 0 e a série harmônica diverge, nossa série

sum_(n = 1)^(oo) (n^2 - 5 n)/(n^3 + n + 1)

Também diverge.

Resposta

Diverge.

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