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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.4 - Ex. 21

Determine se a série converge ou diverge.

sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n + 2))/(2 n^2 + n + 1)

Passo 1

Para saber se essa série converge, vamos usar o teste da comparação de limite.

Este teste funciona da seguinte forma, vamos comparar duas séries, uma de convergência conhecida b_n e outra não a_n e então calculamos o seguinte limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = c

Se c for um número finito e c > 0 , ambas as séries convergem ou divergem.

Passo 2

Neste caso a série que queremos comparar é a de termo

a_n = (sqrt(n + 2))/(2 n^2 + n + 1)

Para comparar usaremos uma série similar a série que estamos analisando, com um polinômio de primeiro grau dentro da raiz e um polinômio de segundo grau no denominador

b_n = (sqrt(n))/(n^2)

Passo 3

Vamos calcular o limite

underset(n -> oo)(lim) (a_n)/(b_n) = underset(n -> oo)(lim) ((sqrt(n + 2))/(2 n^2 + n + 1))/((sqrt(n))/(n^2))

Fazendo a divisão de frações

= underset(n -> oo)(lim) (sqrt(n + 2))/(2 n^2 + n + 1) * (n^2)/(sqrt(n))

Vamos dividir em duas frações

= underset(n -> oo)(lim) (sqrt(n + 2))/(sqrt(n)) * (n^2)/(2 n^2 + n + 1)

Colocando n em evidencia na raiz e n^2 na segunda fração

= underset(n -> oo)(lim) (sqrt(n (1 + (2)/(n))))/(sqrt(n)) * (n^2)/(n^2 (2 + (1)/(n) + (1)/(n^2))) = underset(n -> oo)(lim) (sqrt(n) sqrt((1 + (2)/(n))))/(sqrt(n)) * (n^2)/(n^2 (2 + (1)/(n) + (1)/(n^2)))

Simplificando sqrt(n) e n^2

= underset(n -> oo)(lim) (sqrt((1 + (2)/(n))))/(1) * (1)/((2 + (1)/(n) + (1)/(n^2))) = 1 * (1)/(2) = (1)/(2)

Como 1 // 2 > 0 e a série

sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n))/(n^2)

É uma série-p com p = 1,5 que é maior que 1 e converge, nossa série

sum_(n = 1)^(oo) (sqrt(n + 2))/(2 n^2 + n + 1)

Também converge.

Resposta

Converge.

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