Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 11.4 - Ex. 4
Determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Fala pessoal, tudo certinho? O problema nos deu essa série aqui
E perguntou se ela converge ou diverge. E agora?
Os testes de convergência servem justamente para comparar as séries que conhecemos e se podemos afirmar alguma coisa sobre outras séries! Se você olhar com carinho, essa série tem a cara mais genérica assim (pegando só as maiores potências)
Uma potência de ! essa é do tipo
Essa série é convergente para e divergente para . Então essa é uma ótima opção para compararmos, mas que teste usar?
Se temos uma série que se parece com a nossa, então o teste indicado é o Teste da Comparação dos Limites!
Esse teste nos diz que se o limite da razão de duas séries for um número finito (seja ele qualquer), então as duas séries tem o mesmo comportamento! Então se conhecemos uma série e esse limtie der um número, podemos dizer o comportamento da nossa série!
Mas relaxa, vou fazer contigo!
Passo 2
Show de bola, galera. Partu aplicar o Teste da Comparação?
Reparemos que
Uma vez que o termo é de uma série harmônica, ou seja, é um termo de uma série divergente, chegamos à conclusão de que a nossa série também é divergente pelo Teste da Comparação!
Mas pra isso vamos comaprar os limites!
Passo 3
Vamos aplicar os limites
Organzando temos
No infinito podemos desprezar os termos de menor potência e constantes, então nosso limite fica finito! Saca só
Isso significa que as duas séries tem o mesmo comportamento! E como
É uma com , e portanto divergente, então
É divergente também!