Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 14.6 - Ex. 54
Em qual ponto do paraboloide o plano tangente é paralelo ao plano ?
Passo 1
Oie, tudo bem?
Vamos resolver essa questão. Veja que aqui queremos descobrir qual é o ponto do paraboloide dado pela equação:
Temos um plano tangente a esse paraboloide, que é paralelo ao plano .
Para resolver essa questão, devemos encontrar o vetor gradiente de , pois o vetor gradiente é normal, ou vetor diretor do nosso vetor:
Como é paralelo ao plano, os vetores diretores são múltiplos entre sí, então existe uma constante entre e o vetor diretor de , e é isso que iremos descobrir.
Passo 2
Vamo reescrever a equação do paraboloide da forma:
De forma que iremos então encontrar o gradiente :
Derivando parcialmente:
Então o gradiente é dado por
Lembrando que o gradiente é perpendicular ao plano tangente. Já o vetor diretor do plano é:
Que encontramos como as coordenadas de um plano de equação:
Então vamos encontrar a constante :
Temos então que:
Agora iremos descobrir os valores das coordenadas:
E
Então temos que:
É a nossa resposta