Em qual ponto do paraboloide y = x 2 + z 2 o plano tangente é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 ?

Passo 1

Oie, tudo bem?

Vamos resolver essa questão. Veja que aqui queremos descobrir qual é o ponto do paraboloide dado pela equação:

y = x 2 + z 2

Temos um plano tangente a esse paraboloide, que é paralelo ao plano x + 2 y + 3 z = 1 .

Para resolver essa questão, devemos encontrar o vetor gradiente de y = x 2 + z 2 , pois o vetor gradiente é normal, ou vetor diretor do nosso vetor:

F x , y , z = x 2 - y + z 2

Como F é paralelo ao plano, os vetores diretores são múltiplos entre sí, então existe uma constante c entre ∇ F e o vetor diretor de x + 2 y + 3 z = 1 , e é isso que iremos descobrir.

Passo 2

Vamo reescrever a equação do paraboloide da forma:

f x , y , z = x 2 - y + z 2 = 0

De forma que iremos então encontrar o gradiente ∇ f :

∇ f = f x ,   f y ,   f z

Derivando parcialmente:

f x = 2 x   ; f y = - 1   ; f z = 2 z

Então o gradiente é dado por

∇ f x , y , z = 2 x , - 1,2 z

Lembrando que o gradiente é perpendicular ao plano tangente. Já o vetor diretor do plano é:

x + 2 y + 3 z = 1

1,2 , 3

Que encontramos como as coordenadas a , b , k de um plano de equação:

a x + b y + k z = h

Então vamos encontrar a constante c :

2 x , - 1,2 z = 1,2 , 3 c

Temos então que:

- 1 = 2 c

c = - 1 2

Agora iremos descobrir os valores das coordenadas:

2 x = c

x = - 1 4

2 z = 3 c

z = - 3 4

E

y = x 2 + z 2

y = 5 8

Então temos que:

- 1 4 , 5 8 ,   - 3 4

É a nossa resposta

Resposta

- 1 4 , 5 8 ,   - 3 4

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