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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 47

Determine se a série é convergente ou divergente expressando s n como uma soma telescópica (como no Exemplo 8). Se for convergente, calcule sua soma.

∑ n = 1 ∞ e 1 n - e 1 n + 1

Passo 1

Como funcionam as séries telescópicas?

Elas acontecem geralmente quando temos um termo com uma subtração, onde parte de um termo cancela com um próximo, sobrando parte dos primeiros termos e parte dos últimos.

a n = e 1 n - e 1 n + 1

Basicamente abrimos a soma s n dessa série e notamos vários termos iguais mais com sinais opostos, cancelando-se entre si. A vantagem da série telescópica é que fazemos vários cancelamentos e no fim nos restam apenas dois termos. Já dá para notar que simplifica bastante nossa soma s n , né?

Depois de obter s n , calculamos:

lim n → ∞ ⁡ s n

Se esse limite existir, nossa série converge. Se não, ela diverge.

Vamos para o passo a passo!

Passo 2

Buscando agora quanto vale nossa soma, vamos analisar o s n :

s n = a 1 + a 2 + a 3 + … + a n - 1 + a n

Substituindo nosso termo a n com n = 1,2 , 3 , … , n - 1 , n

s n = e 1 1 - e 1 2 + e 1 2 - e 1 3 + e 1 3 - e 1 4 + … + e 1 n - 1 - e 1 n + e 1 n - e 1 n + 1

Analisando o padrão, percebemos que todos os termos de cancelam, menos o primeiro e 1 e o ultimo - e 1 n + 1 . Nossa soma se resume a:

s n = e - e 1 n + 1

Passo 3

Para descobrir se nossa série converge e o valor da soma, basta aplicar o limite:

lim n → ∞ ⁡ s n = lim n → ∞ ⁡ e - e 1 n + 1 = e - e 0

Então:

∑ n = 1 ∞ e 1 n - e 1 n + 1 = e - 1

Como o limite existe, a série converge e sua soma é s n = e - 1 .

Resposta

Como o limite existe, nossa série converge e sua soma é:

∑ n = 1 ∞ e 1 n - e 1 n + 1 = e - 1

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