Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 94a
Curva do floco de neve de Helga von Koch. A curva do floco de neve de Helga von Koch é uma curva de comprimento infinito que engloba uma região de área finita. Para entender a razão disso, imagine que a curva é gerada a partir de um triângulo equilátero cujos lados têm comprimento igual a .
- Encontre o comprimento da -ésima curva e mostre que .
Passo 1
Oi galera, vem comigo no passo a passo deste exercício! Neste exercício queremos encontrar o comprimento . Para isso, vamos entender como as curvas estão sendo formadas.
Primeiramente, sabemos do enunciado que o comprimento da primeira curva () é dado por:
Na curva seguinte (), cada aresta do triângulo se transforma em quatro arestas de tamanho , assim:
Na terceira curva (), novamente, cada aresta se transforma em quatro arestas, no entanto o novo comprimento é :
Esse processo é repetido infinitamente, e conseguimos encontrar o comprimento da nossa curva :
Passo 2
Agora iremos mostrar que , sabemos que:
Ou seja:
Porém este é um limite indeterminado, para resolver este limite iremos utilizar algumas regrinhas:
Pela regra do logaritmo sabemos que:
Os termos que não têm será retirado do nosso limite:
Sendo assim, conseguimos chegar no seguinte:
Então, de acordo com o enunciado, concluímos que:
Espero ter conseguido ajudar, até mais pessoal!
Resposta
.