Enunciado
Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 10.2 - Ex. 76
Encontre os valores de para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma da série (como uma função de ) para esses valores de .
Passo 1
Olá galerinha, tudo bem com vocês? Primeiramente vamos relembrar a teoria para séries geométricas! Vem comigo.
As séries geométricas tem a seguinte forma:
Onde e são números reais fixos e . A série pode ainda ser escrita como . A razão pode ser positiva:
com:
- ;
- .
- ;
- .
Ou negativa:
onde:
Se , então quando e . A série converge para:
Lembrando que, a fórmula para a soma de uma série geométrica se aplica quando na expressão (ou o índice , escrevemos a série como ).
Passo 2
Sendo assim, com a seguinte série, conseguimos determinar os valores de e :
Onde:
Com estes valores conseguimos determinar o valor da soma da série:
A série converge quando:
Então, para o módulo positivo:
E o módulo negativo:
Sendo assim:
Espero ter conseguido ajudar, até mais pessoal!
Resposta
- ;
- .