Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 11.2 - Ex. 65
Use o comando de frações parciais em seu SCA para encontrar uma expressão conveniente para a soma parcial; então utilize essa expressão para encontrar a soma da série. Verifique sua resposta usando o SCA para somar a série diretamente.
Passo 1
Fala, pessoal! Tudo tranquilo?
Se você não sabe o que é SCA, tá de boa. Eu também não sabia, mas é sistema de computação algébrica (ou CAS, Computer Algebra System).
O que precisamos fazer aqui é tentar encontrar uma expressão para a série usando algum programa de computação algébrica. No nosso caso, podemos usar o software Mathematica com a função “Apart”.
Depois, com esse expressão que o programa deu, achamos a soma da nossa série.
E por fim, vamos pedir para o programa também calcular a soma de uma vez e ver se ele confirma a soma que tinhámos achado anteriormente.
Vamos passo a passo!
Passo 2
Jogando no software, ele nos dá que a expressão da soma da série é:
Então:
Essa será uma série telescópica, então vamos analisar as somas parciais.
Passo 3
Buscando agora quanto vale nossa soma pela expressão que o Mathematica nos deu, vamos analisar o
Aplicando na nossa expressão, teremos:
Analisando a série, todos os termos vão se cancelar, menos a primeira e a última fração, então temos uma fórmula para o nosso termo geral.
Passo 4
Para calcular a soma basta aplicar o limite
Logo:
Passo 5
Para finalizar, vamos encontrar o valor da soma de pedindo para o Mathematica calcular diretamente:
Quando usamos a função Sum[f,{n,1,Infinity}] no Mathematica, também chegamos no valor de , o que confirma nossa resposta do passo anterior.