Se usarmos, para esse caso que
x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t
, assim:
x ¨ + x ˙ + 2 x = 0 → λ 2 e λ t + λ e λ t + 2 λ + e λ t = e λ t λ 2 + λ + 2 = 0
e λ t λ 2 + λ + 2 = 0 → λ 2 + λ + 2 = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
λ ' e λ " = - b ± b 2 - 4 a c 2 a
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = 1 e c = 2
, assim:
λ ' e λ " = - 1 ± 1 2 - 4 1 2 2 1 = - 1 2 ± - 7 2
Passo 2
Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que
i 2 = - 1
:
- 1 2 ± 7 i 2 2 = - 1 2 ± 7 ( i ) 2 2 = - 1 2 ± 7 2 i
Passo 3
Identificados os valores de
λ
, podemos Agora reescrever o
x
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
λ 1 e λ 2
da equação característica (ou seja, a função
λ 2 + b λ + c = 0
), então se
λ 1 e λ 2
são números complexos podemos afirmar que:
x t = e α t A cos β t + B sin β t A , B ϵ R
Lembrando que:
λ = α ± β i
Para o nosso caso:
α = - 1 2 e β = 7 2
Assim, substituindo os valores de
α e β
:
x t = e - 1 2 t A cos 7 2 t + B sin 7 2 t
Passo 4
Agora que temos
x t
podemos achar os valores de
A e B
usando
x 0 e o x ˙ ( 0 )
.
Para isso precisamos achar o
x ˙ t
.
x ˙ t = d x t d t = d e - 1 2 t A cos 7 2 t + B sin 7 2 t d t =
= - 1 2 e - 1 2 t A cos 7 2 t + B sin 7 2 t + e - 1 2 t - 7 2 A sin 7 2 t + 7 2 B cos 7 2 t
=
= e - 1 2 t - 1 2 A cos 7 2 t + B sin 7 2 t + 7 2 B cos 7 2 t - A sin 7 2 t
= e - 1 2 t - 1 2 A cos 7 2 t - 1 2 B sin 7 2 t + 7 2 B cos 7 2 t - 7 2 A sin 7 2 t =
e - 1 2 t cos 7 2 t 7 2 B - 1 2 A + sin 7 2 t - 7 2 A - 1 2 B
Ou seja,
x ˙ t = e - 1 2 t cos 7 2 t 7 2 B - 1 2 A + sin 7 2 t - 7 2 A - 1 2 B
Passo 5
Substituindo o
0
em
x t e x ˙ ( t )
, teremos:
x 0 = e - 1 2 t A cos 7 2 t + B sin 7 2 t = e - 1 2 × 0 A cos 0 + B sin 0 =
= A × 1 + B × 0 = A → A = 1
x ˙ 0 = e - 1 2 t cos 7 2 t 7 2 B - 1 2 A + sin 7 2 t - 7 2 A - 1 2 B
= e - 1 2 × 0 cos 0 7 2 B - 1 2 A + sin 0 - 7 2 A - 1 2 B =
= 1 × 7 2 B - 1 2 A + 0 × A 7 2 - B = 7 2 B - 1 2 A → 7 2 B - 1 2 A = 1 →
→ 7 B - 1 A = 2 → B = 2 + 1 A 7 = 2 + 1 7 = 3 7 7
B = 3 7 7
Substituindo em
x t :
x t = e - 1 2 t cos 7 2 t + 3 7 7 sin 7 2 t