Determine a solução:

c) x¨ + x˙ + 2x = 0, x(0) = 1 e x˙(0) = 1

Passo 1

Se usarmos, para esse caso que x = e λ t → x ˙ = λ e λ t → x ¨ = λ 2 e λ t , assim:

x ¨ + x ˙ + 2 x = 0 → λ 2 e λ t + λ e λ t + 2 λ + e λ t = e λ t λ 2 + λ + 2 = 0

e λ t λ 2 + λ + 2 = 0 → λ 2 + λ + 2 = 0

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

λ ' e   λ " =   - b ± b 2 - 4 a c 2 a

Para o caso dado só temos a = 1 ,   b = 1   e   c = 2 , assim:

λ ' e   λ " =   - 1 ± 1 2 - 4 1 2 2 1 = - 1 2 ± - 7 2    

Passo 2

Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que i 2 = - 1 :

- 1 2 ± 7 i 2 2 = - 1 2 ± 7 ( i ) 2 2 = - 1 2 ± 7   2 i  

Passo 3

Identificados os valores de   λ , podemos Agora reescrever o x pelo teorema que diz que se temos duas raízes λ 1   e   λ 2 da equação característica (ou seja, a função λ 2 + b λ + c = 0 ), então se λ 1 e   λ 2 são números complexos podemos afirmar que:

x t = e α t A cos ⁡ β t + B sin ⁡ β t   A ,   B   ϵ R

Lembrando que: λ = α ±   β i

Para o nosso caso: α = - 1 2   e   β = 7 2

Assim, substituindo os valores de α   e   β :

x t = e - 1 2 t A cos ⁡ 7 2 t + B sin ⁡ 7 2 t  

Passo 4

Agora que temos x t podemos achar os valores de A   e   B usando x 0 e   o   x ˙ ( 0 ) .

Para isso precisamos achar o x ˙ t .

x ˙ t = d x t d t = d e - 1 2 t A cos ⁡ 7 2 t + B sin ⁡ 7 2 t   d t =

= - 1 2 e - 1 2 t A cos ⁡ 7 2 t + B sin ⁡ 7 2 t + e - 1 2 t - 7 2 A sin ⁡ 7 2 t + 7 2 B cos ⁡ 7 2 t =

= e - 1 2 t - 1 2 A cos ⁡ 7 2 t + B sin ⁡ 7 2 t + 7 2 B cos ⁡ 7 2 t - A sin ⁡ 7 2 t

= e - 1 2 t - 1 2 A cos ⁡ 7 2 t - 1 2 B sin ⁡ 7 2 t + 7 2 B cos ⁡ 7 2 t - 7 2 A sin ⁡ 7 2 t =

e - 1 2 t cos ⁡ 7 2 t 7 2 B - 1 2 A + sin ⁡ 7 2 t - 7 2 A - 1 2 B

Ou seja, x ˙ t = e - 1 2 t cos ⁡ 7 2 t 7 2 B - 1 2 A + sin ⁡ 7 2 t - 7 2 A - 1 2 B

Passo 5

Substituindo o 0   em x t   e   x ˙ ( t ) , teremos:

x 0 = e - 1 2 t A cos ⁡ 7 2 t + B sin ⁡ 7 2 t   = e - 1 2 × 0 A cos ⁡ 0 + B sin ⁡ 0   =

= A × 1 + B × 0 = A → A = 1

x ˙ 0 = e - 1 2 t cos ⁡ 7 2 t 7 2 B - 1 2 A + sin ⁡ 7 2 t - 7 2 A - 1 2 B

= e - 1 2 × 0 cos ⁡ 0 7 2 B - 1 2 A + sin ⁡ 0 - 7 2 A - 1 2 B =

= 1 × 7 2 B - 1 2 A + 0 × A 7 2 - B =   7 2 B - 1 2 A → 7 2 B - 1 2 A = 1 →

→ 7 B - 1 A = 2 → B = 2 + 1 A 7 = 2 + 1 7 = 3 7 7

B = 3 7 7

Substituindo em x t :

x t = e - 1 2 t cos ⁡ 7 2 t + 3 7 7 sin ⁡ 7 2 t  

Resposta

x t = e - 1 2 t cos ⁡ 7 2 t + 3 7 7 sin ⁡ 7 2 t  

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