Se usarmos, para esse caso que
x = e^(lambda t) -> overset(˙)(x) = lambda e^(lambda t) -> overset(¨)(x) = lambda^2 e^(lambda t)
, assim:
overset(¨)(x) + overset(˙)(x) + 2 x = 0 -> lambda^2 e^(lambda t) + lambda e^(lambda t) + 2 lambda + e^(lambda t) = e^(lambda t) (lambda^2 + lambda + 2) = 0
e^(lambda t) (lambda^2 + lambda + 2) = 0 -> lambda^2 + lambda + 2 = 0
Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:
lambda^' e lambda " = (- b +- sqrt(b^2 - 4 a c))/(2 a)
Para o caso dado só temos
a = 1 , b = 1 e c = 2
, assim:
lambda^' e lambda " = (- 1 +- sqrt(1^2 - 4 (1) (2)))/(2 (1)) = - (1)/(2) +- (sqrt(- 7))/(2)
Passo 2
Como bem sabemos, não podemos ter valores negativos dentro da raíz para valores reais, para que faça sentido vamos lembrar que
i^2 = - 1
:
- (1)/(2) +- (sqrt(7 i^2))/(2) = - (1)/(2) +- (sqrt(7 ( i )^2))/(2) = - (1)/(2) +- (sqrt(7))/(2) i
Passo 3
Identificados os valores de
lambda
, podemos Agora reescrever o
x
pelo teorema que diz que se temos duas raízes
lambda_1 e lambda_2
da equação característica (ou seja, a função
lambda^2 + b lambda + c = 0
), então se
lambda_1 e lambda_2
são números complexos podemos afirmar que:
x (t) = e^(alpha t) [A cos beta t + B sin beta t] (A , B ϵ R)
Lembrando que:
lambda = alpha +- beta i
Para o nosso caso:
alpha = - (1)/(2) e beta = (sqrt(7))/(2)
Assim, substituindo os valores de
alpha e beta
:
x (t) = e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(7))/(2) t + B sin (sqrt(7))/(2) t]
Passo 4
Agora que temos
x (t)
podemos achar os valores de
A e B
usando
x (0) e o overset(˙)(x) ( 0 )
.
Para isso precisamos achar o
overset(˙)(x) (t)
.
overset(˙)(x) (t) = (d (x (t)))/(d t) = (d (e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(7))/(2) t + B sin (sqrt(7))/(2) t]))/(d t) =
= - (1)/(2) e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(7))/(2) t + B sin (sqrt(7))/(2) t] + e^(- (1)/(2) t) [- (sqrt(7))/(2) A sin (sqrt(7))/(2) t + (sqrt(7))/(2) B cos (sqrt(7))/(2) t]
=
= e^(- (1)/(2) t) [- (1)/(2) (A cos (sqrt(7))/(2) t + B sin (sqrt(7))/(2) t) + (sqrt(7))/(2) (B cos (sqrt(7))/(2) t - A sin (sqrt(7))/(2) t)]
= e^(- (1)/(2) t) [- (1)/(2) A cos (sqrt(7))/(2) t - (1)/(2) B sin (sqrt(7))/(2) t + (sqrt(7))/(2) B cos (sqrt(7))/(2) t - (sqrt(7))/(2) A sin (sqrt(7))/(2) t] =
e^(- (1)/(2) t) [cos (sqrt(7))/(2) t ((sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A) + sin (sqrt(7))/(2) t (- (sqrt(7))/(2) A - (1)/(2) B)]
Ou seja,
overset(˙)(x) (t) = e^(- (1)/(2) t) [cos (sqrt(7))/(2) t ((sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A) + sin (sqrt(7))/(2) t (- (sqrt(7))/(2) A - (1)/(2) B)]
Passo 5
Substituindo o
0
em
x (t) e overset(˙)(x) ( t )
, teremos:
x (0) = e^(- (1)/(2) t) [A cos (sqrt(7))/(2) t + B sin (sqrt(7))/(2) t] = e^(- (1)/(2) xx 0) [A cos 0 + B sin 0] =
= A xx 1 + B xx 0 = A -> A = 1
overset(˙)(x) (0) = e^(- (1)/(2) t) [cos (sqrt(7))/(2) t ((sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A) + sin (sqrt(7))/(2) t (- (sqrt(7))/(2) A - (1)/(2) B)]
= e^(- (1)/(2) xx 0) [cos 0 ((sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A) + sin 0 (- (sqrt(7))/(2) A - (1)/(2) B)] =
= 1 xx ((sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A) + 0 xx (A (sqrt(7))/(2) - B) = (sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A -> (sqrt(7))/(2) B - (1)/(2) A = 1 ->
-> sqrt(7) B - 1 A = 2 -> B = (2 + 1 A)/(sqrt(7)) = (2 + 1)/(sqrt(7)) = (3 sqrt(7))/(7)
B = (3 sqrt(7))/(7)
Substituindo em
x (t) :
x (t) = e^(- (1)/(2) t) [cos (sqrt(7))/(2) t + (3 sqrt(7))/(7) sin (sqrt(7))/(2) t]