Determine a equação do plano normal, em , à intersecção das superfícies e .
Passo 1
O problema fornece duas superfícies e pede a equação do plano normal à curva dada pela intersecção. Basta lembrar que o vetor normal do plano normal a uma curva é o próprio vetor diretor da reta tangente a essa curva.
Primeiro vamos escrever
Assim, as superfícies dadas são superfícies de nível das funções e . Como procuramos o vetor diretor da reta tangente à curva, vamos calcular os gradientes de e :
Passo 2
Como o vetor diretor da reta tangente é perpendicular tanto a como a , temos que
Assim,
Como o vetor normal ao plano normal é paralelo ao vetor diretor da reta tangente, temos que
Passo 3
A equação do plano é dada por
Assim,
Logo,
Portanto,