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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 2 - 7ª Edição - James Stewart- Ed: 7º - Capítulo 17.1 - Ex. 11

Resolva a equação diferencial.

2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0

Passo 1

A equação diferencial que temos que resolver é a seguinte:

2 (d^2 y)/(d t^2) + 2 (2 d y)/(d t) - y = 0

Então nossa equação característica fica o seguinte:

2 r^2 + 2 r - 1 = 0

Resolvendo, temos:

r = (- 2 +- sqrt(2^2 - 4 * 2 * (- 1)))/(2 * 2)

Logo,

r = (- 2 +- 2 sqrt(3))/(4) = (1 +- sqrt(3))/(2)

Passo 2

Como temos duas soluções reais, a solução da equação fica da seguinte forma:

y (t) = C_1 e^(r_1 t) + C_2 e^(r_2 t)

Onde r_1 e r_2 são as raízes e C_1 e C_2 são constantes. Aplicando ao nosso problema, temos:

r_1 = (- 1 + sqrt(3))/(2) e r_2 = (- 1 - sqrt(3))/(2)

Assim,

y (t) = C_1 e^(((- 1 + sqrt(3))/(2)) t) + C_2 e^(((- 1 - sqrt(3))/(2)) t)

Resposta

y (t) = C_1 e^(((- 1 + sqrt(3))/(2)) t) + C_2 e^(((- 1 - sqrt(3))/(2)) t) , C_1 e C_2 constantes

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