Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 2
A função diferenciável é dada implicitamente pela equação . Determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
Passo 1
A questão pede a equação do planto tangente ao gráfico de no ponto . Para acharmos essa equação precisamos encontrar o vetor normal ao plano. Para isso, tomaremos a função
Assim, o gráfico de está contido em uma superfície de nível da função . Mas por que fizemos isso? A resposta é simples: o gradiente de será ortogonal às superfícies de nível. Desta forma, o gradiente desta função no ponto será o vetor normal do plano.
Calculando esse gradiente, temos que
Passo 2
Precisamos achar para termos a terceira coordenada do ponto de tangência. Para isso, substituímos na equação:
Desta forma,
Como só estamos interessados na direção do gradiente, vamos tomar como vetor normal.
Passo 3
A equação de um plano é dada por
Assim,
Logo,
Portanto,