A função diferenciável z = f ( x , y ) é dada implicitamente pela equação x 3 + y 3 + z 3 = 10 . Determine a equação do plano tangente ao gráfico de f no ponto 1 ,1 ,f 1,1 .

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 13.2 - Ex. 2

A função diferenciável é dada implicitamente pela equação . Determine a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .

Passo 1

A questão pede a equação do planto tangente ao gráfico de no ponto . Para acharmos essa equação precisamos encontrar o vetor normal ao plano. Para isso, tomaremos a função

Assim, o gráfico de está contido em uma superfície de nível da função . Mas por que fizemos isso? A resposta é simples: o gradiente de será ortogonal às superfícies de nível. Desta forma, o gradiente desta função no ponto será o vetor normal do plano.

Calculando esse gradiente, temos que

Passo 2

Precisamos achar para termos a terceira coordenada do ponto de tangência. Para isso, substituímos na equação:

Desta forma,

Como só estamos interessados na direção do gradiente, vamos tomar como vetor normal.

Passo 3

A equação de um plano é dada por

Assim,

Logo,

Portanto,

Resposta

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Utilizando argumentos geométricos, determine soluções da equação a derivadas parciais dada. 3 ∂ f ∂ x + 2 ∂ f ∂ y = 0

Determine a equação da reta tangente à curva de nível dada, no ponto dado. e 2 x - y + 2 x + 2 y = 4 ,e m 1 2 , 1

É dada uma curva γ que passa pelo ponto γ t 0 = ( 1,3 ) e cuja imagem está contida na curva de nível x 2 + y 2 = 10 . Suponha que γ ' t 0 ≠ 0 → .a) Determine a equação da reta tangente a γ no ponto (

Determine as equações do plano tangente e da reta normal à superfície dada, no ponto dado. z e x - y + z 3 = 2 , e m 2 ,2 ,1

A imagem da curva γ ( t ) está contida na intersecção da superfície cilíndrica x 2 + y 2 = 2 com a superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Suponha que γ t 0 = ( 1 ,1 ,1 ) e γ ' t 0 ≠ 0 → .a) Determi