Determine a soluçãoh ) (d^2 y)/(d t^2) - 3 (d y)/(d t) + 2 y = t^2

Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 1h

Determine a solução

Passo 1

Primeiramente precisamos lembrar que a solução para esse tipo de equação não homogênea vai sempre ser do tipo:

Sendo uma solução homogênea e a parte da solução particular.

Para achar o , vamos ter que considerar a equação como sendo homogênea, assim queremos a solução de:

Se usarmos, para esse caso que , assim:

Vamos usar Teorema de bháskara, sendo:

Para o caso dado só temos , assim:

Passo 2

Identificados os valores de, podemos Agora reescrever o pelo teorema que diz que se temos duas raízes da equação característica (ou seja, a função ), então se então podemos reescrever como sendo:

Para o nosso caso:

Assim, substituindo os valores de :

Passo 3

Agora que temos a parte homogênea vamos procurar a parte particular da equação.

Mas como fazer isso?

Temos os seguintes casos que podem aparecer:

Observação: Se , procede como no caso,

Temos que para o nosso caso , ou seja, vamos considerar , como genérico tem o mesmo grau que e no nosso caso é um polinômio de grau 2, vamos dizer que