Seja f: A ∈ R^3 → R , A aberto de classe C^2 Justifique as igualdades:

a) ∂²f / ∂x ∂y = ∂²f / ∂y ∂x

b) ∂²f / (∂x ∂z) = ∂²f / (∂z ∂x)

c) ∂²f / ∂y ∂z = ∂²f / ∂z ∂y

Passo 1

Este exercício pode ser facilmente resolvido se você usar a informação de que f é uma função de classe C 2 . (Lembre que, neste caso, as derivadas podem ser invertidas!)

Passo 2

Realmente não tem mistério esta questão! Lembre-se para sempre:

“Função é C 2 ” = “Derivadas podem ser invertidas”

Quais derivadas?? TODAS! Não importa quais variáveis peguemos, sempre será possível inverter a ordem de derivação.

Ou seja, temos diretamente que ∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x , ∂ 2 f ∂ x ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ x e também ∂ 2 f ∂ y ∂ z = ∂ 2 f ∂ z ∂ y ! Aplicação de definição meus caros.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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