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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 3.3 - Ex. 6

Em cada um dos problemas de 1 a 6, use a fórmula de Euler para escrever a expressão dada na forma a + i b .

π - 1 + 2 i

Passo 1

Para o nosso probloma, apenas lembre que e ± i a = cos ⁡ a ± i   s e n   a . Agora vamos começar nosso problema realizando manipulações matemáticas.

Passo 2

Para resolvemos nosso problema, precisamos usar a cuca para perceber algumas coisinhas. Primeiro perceba que a transformação do passo 1 só vale para a fórmula de Euler. Assim precisamos transformar função para podermos aplicar o que sabemos

Primeiro vamos passar a função l n e depois aplicamos a função Euler assim teremos que

π - 1 + 2 i = e ln ⁡ π - 1 + 2 i

Tendo agora elementos para resolver nosso problema.

e ln ⁡ π - 1 + 2 i = e - 1 + 2 i ln ⁡ π = e ln ⁡ π - 1 e 2 i ln ⁡ π = π - 1 e 2 i ln ⁡ π

Agora aplicando a transformação do passo 1, temos que

e 2 i ln ⁡ π = cos ⁡ 2 ln ⁡ π + i   s e n   2 ln ⁡ π

O que resulta em

π - 1 + 2 i = π - 1 cos ⁡ 2 ln ⁡ π + i   s e n   2 ln ⁡ π

Resposta

π - 1 + 2 i = π - 1 cos ⁡ 2 ln ⁡ π + i   s e n   2 ln ⁡ π

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Determine a solução a ) d 2 x d t 2 - 3 x = cos ⁡ 3 t