Determine a solução do problemaoverset(¨)(x) + 4 x = 5 e^(3 t) , x (0) = 0 e overset(˙)(x) (0) = 0

x (t) = - (5)/(13) cos 2 t - (15)/(26) sen 2 t + (5)/(13) e^(3 t)

Enunciado

Para encontrar a solução do problema, buscamos a solução geral da equação, que é da forma

onde é a solução homogênea e a solução particular, depois substituímos as condições iniciais para encontrar as constantes da solução homogênea.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

Vamos então supor a solução , para isso calculamos as derivadas

Substituindo na equação temos

Colocando em evidência

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

Portanto a solução homogênea é da forma

Onde e são constantes reais, ou .

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é .

Como temos uma entrada com cara exponencial, vamos supor uma solução particular com a mesma cara

Calculando as derivadas

Substituindo então na equação

Temos então

E a solução particular é dada por

E a solução geral é dada por

Com .

Temos então as condições , substituindo primeiro na equação

Derivando agora

Substituindo

E temos