Determine a solução do problema

x¨ + 4x = 5e^(3t), x(0) = 0 e x˙(0) = 0

Passo 1

Para encontrar a solução do problema, buscamos a solução geral da equação, que é da forma

x t = x h t + x p t

onde x h t é a solução homogênea e x p t a solução particular, depois substituímos as condições iniciais para encontrar as constantes da solução homogênea.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

x ¨ + 4 x = 0

Vamos então supor a solução x h t = e r t , para isso calculamos as derivadas

x ˙ = r e r t

x ¨ = r 2 e r t

Substituindo na equação temos

r 2 e r t + 4 e r t = 0

Colocando e r t em evidência

e r t r 2 + 4 = 0

r 2 + 4 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r 2 + 4 = 0

r 2 = - 4

r = ± 2 i

Portanto a solução homogênea é da forma

x h t = A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B ∈ R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é 5 e 3 t .

Como temos uma entrada com cara exponencial, vamos supor uma solução particular com a mesma cara

y p t = a e 3 t

Calculando as derivadas

x p ' t = 3 a e 3 t

x p ' ' t = 9 a e 3 t

Substituindo então na equação

x ¨ + 4 x = 5 e 3 t

9 a e 3 t + 4 a e 3 t = 5 e 3 t

13 a e 3 t = 5 e 3 t

Temos então

13 a = 5

a = 5 13

E a solução particular é dada por

x p t = 5 13 e 3 t

E a solução geral é dada por

x t = x h t + x p t

x t = A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t + 5 13 e 3 t

Com A , B ∈ R .

Passo 4

Temos então as condições x 0 = 0   e   x ˙ 0 = 0 , substituindo primeiro t = 0 na equação

x t = A cos ⁡ 2 t + B sen ⁡ 2 t + 5 13 e 3 t

x 0 = A cos ⁡ 0 + B sen ⁡ 0 + 5 13 e 0 = 0

A = - 5 13

Derivando agora

x ' t = - 2 A sen ⁡ 2 t + 2 B cos ⁡ 2 t + 1 5 13 e 3 t

Substituindo t = 0

x ' 0 = - 2 A sen ⁡ 0 + 2 B cos ⁡ 0 + 15 13 e 0 = 0

2 B = - 15 13

B = - 15 26

E temos

x t = - 5 13 cos ⁡ 2 t - 15 26 sen ⁡ 2 t + 5 13 e 3 t

Resposta

x t = - 5 13 cos ⁡ 2 t - 15 26 sen ⁡ 2 t + 5 13 e 3 t

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