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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.5 - Ex. 1m

Determine a solução geral.

overset(¨)(x) + 9 x = sen 3 t

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h (t) é a solução homogênea e x_p (t) a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

overset(¨)(x) + 9 x = 0

Vamos então supor a solução x_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

overset(˙)(x) = r e^(r t)

overset(¨)(x) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) + 9 r e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 + 9) = 0

r^2 + 9 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r^2 + 9 = 0

r^2 = - 9

r = +- 3 i

Portanto a solução homogênea é da forma

x_h (t) = A cos 3 t + B sen 3 t

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é sen 3 t .

Temos então como entrada um seno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo e como sen 3 t é solução da equação homogênea, então

x_p (t) = a t cos 3 t + b t sen 3 t

x_p (t) = t (a cos 3 t + b sen 3 t)

Calculando as derivadas

x_p^' (t) = a cos 3 t + b sen 3 t + t (- 3 a sen 3 t + 3 b cos 3 t)

x_p^(' ') (t) = - 3 a sen 3 t + 3 b cos 3 t - 3 a sen 3 t + 3 b cos 3 t + t (- 9 a cos 3 t - 9 b sen 3 t)

= - 6 a sen 3 t + 6 b cos 3 t + t (- 9 a cos 3 t - 9 b sen 3 t)

Substituindo então na equação

overset(¨)(x) + 9 x = sen 3 t

- 6 a sen 3 t + 6 b cos 3 t + t (- 9 a cos 3 t - 9 b sen 3 t) + 9 t (a cos 3 t + b sen 3 t) = sen 3 t

Perceba que os componentes que contém t são cancelados e ficamos com

- 6 a sen 3 t + 6 b cos 3 t = sen 3 t

E temos

- 6 a = 1

a = - (1)/(6)

b = 0

E a solução particular é dada por

x_p (t) = - (1)/(6) t cos 3 t

E a solução geral é dada por

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

x (t) = A cos 3 t + B sen 3 t - (1)/(6) t cos 3 t

Com A , B in R .

Resposta

x (t) = A cos 3 t + B sen 3 t - (1)/(6) t cos 3 t

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