Determine a solução geral.overset(¨)(x) - 4 x = 8 cos t

x (t) = A e^(2 t) + B e^(- 2 t) - (8)/(5) cos t

Enunciado

A solução geral que estamos buscando é da forma

Onde é a solução homogênea e a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

Vamos então supor a solução , para isso calculamos as derivadas

Substituindo na equação temos

Colocando em evidência

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

Portanto a solução homogênea é da forma

Onde e são constantes reais, ou .

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é .

Temos então como entrada um cosseno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo, supomos então

Calculando as derivadas

Substituindo então na equação

Temos então

E a solução particular é dada por

E a solução geral é dada por

Com .