Determine a solução geral.

x¨ - 4x = 8 cos(t)

Passo 1

A solução geral que estamos buscando é da forma

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

Onde x_h (t) é a solução homogênea e x_p (t) a solução particular.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

overset(¨)(x) - 4 x = 0

Vamos então supor a solução x_h (t) = e^(r t) , para isso calculamos as derivadas

overset(˙)(x) = r e^(r t)

overset(¨)(x) = r^2 e^(r t)

Substituindo na equação temos

r^2 e^(r t) - 4 e^(r t) = 0

Colocando e^(r t) em evidência

e^(r t) (r^2 - 4) = 0

r^2 - 4 = 0

Passo 2

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

r^2 - 4 = 0

r^2 = 4

r_1 = 2

r_2 = - 2

Portanto a solução homogênea é da forma

x_h (t) = A e^(2 t) + B e^(- 2 t)

Onde A e B são constantes reais, ou A , B in R .

Passo 3

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é 8 cos t .

Temos então como entrada um cosseno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo, supomos então

y_p (t) = a cos t

Calculando as derivadas

x_p^' (t) = - a sen t

x_p^(' ') (t) = - a cos t

Substituindo então na equação

overset(¨)(x) - 4 x = 8 cos t

- a cos t - 4 a cos t = 8 cos t

- 5 a cos t = 8 cos t

Temos então

- 5 a = 8

a = - (8)/(5)

E a solução particular é dada por

x_p (t) = - (8)/(5) cos t

E a solução geral é dada por

x (t) = x_h (t) + x_p (t)

x (t) = A e^(2 t) + B e^(- 2 t) - (8)/(5) cos t

Com A , B in R .

Resposta

x (t) = A e^(2 t) + B e^(- 2 t) - (8)/(5) cos t

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