Determine a solução do problemaoverset(¨)(x) + 4 x = cos t , x (0) = 1 e overset(˙)(x) (0) = - 1

x (t) = (2)/(3) cos 2 t - (1)/(2) sen 2 t + (1)/(3) cos t

Enunciado

Para encontrar a solução do problema, buscamos a solução geral da equação, que é da forma

onde é a solução homogênea e a solução particular, depois substituímos as condições iniciais para encontrar as constantes da solução homogênea.

Vamos primeiramente procurar solução homogênea, que a solução pra equação

Vamos então supor a solução , para isso calculamos as derivadas

Substituindo na equação temos

Colocando em evidência

Resolvemos então a equação de segundo grau encontrada

Portanto a solução homogênea é da forma

Onde e são constantes reais, ou .

Para a solução particular, vamos seguir a cara da função de entrada, que neste caso é .

Temos então como entrada um cosseno, para esse tipo de entrada, com o coeficiente da primeira derivada nulo, supomos então

Calculando as derivadas

Substituindo então na equação

Temos então

E a solução particular é dada por

E a solução geral é dada por

Com .

Temos então as condições , substituindo primeiro na equação

Derivando agora

Substituindo

E temos