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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 5.2 - Ex. 2b

  1. Determine a solução do problema.

b) (d^2 x)/(d t^2) - 2 (d x)/(d t) = 0 , x (0) = 0 e x^' (0) = 1

Passo 1

Teorema,

  1. s e lambda_1 != lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l d a e q u a ç ã o h o m o g ê n e a (lambda^2 + b lambda + c = 0) s e r á

    2. x = A e^(lambda_1 t) + B e^(lambda_2 t)

  2. s e lambda_1 = lambda_2 , a s o l u ç ã o g e r a l s e r á

x = A e^(lambda_1 t) + B t e^(lambda_1 t)

Passo 2

aplicando em nossa questão:

{[[(d^2 x)/(d t^2),-,2,(d x)/(d t),=,0],[x,(0),=,0,,e,,x^',(0),=,1]])

(d^2 x)/(d t^2) - 2 (d x)/(d t) = 0

Transformando no formato lambda^2 + b lambda + c = 0 ,

lambda^2 - 2 lambda = 0

Passo 3

Resolvendo...

lambda^2 - 2 lambda = 0

(lambda) (lambda - 2)

As raízes dessa equação homogênea são,

lambda_1 = 0 , lambda_2 = 2

Pelo teorema, lambda_1 != lambda_2

Então a solução geral da equação,

x = A e^(0 * t) + B e^(2 * t)

Passo 4

Agora, precisamos encontrar A e B,

x^' = 2 B e^(2 t)

Então,

{[[A,+,B,e^(2 * 0),=,0],[2,B,e^(2 * 0),=,1]])

Ou

{[[A,+,B,=,0],[2,B,=,1]])

E, portanto, A = - (1)/(2) e B = (1)/(2) . A s o l u ç ã o d o p r o b l e m a é ,

x = - (1)/(2) + (1)/(2) e^(2 t)

Resposta

x = - (1)/(2) + (1)/(2) e^(2 t)

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Resolva a equaçãol) (d^2 x)/(d t^2) + 3 (d x)/(d t) = 0
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Resolva a equaçãoi) (d^2 y)/(d x^2) + 5 (d y)/(d x) = 0