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Enunciado

Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 6

Determine a superfície de nível da função f x , y , z = x 2 + y 2 + 2 z 2 que seja tangente ao plano x + 2 y + 3 z = 4 . Qual o ponto de tangência?

Passo 1

Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:

f = x 2 + y 2 + 2 z 2

g = x + 2 y + 3 z - 4

Lembrando que a f sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e g sempre representará uma restrição na forma g = 0 (no caso, estamos procurando a superfície de nível que encoste PRIMEIRO no plano dado).

Agora, devemos resolver o sisteminha

∇ f = λ ∇ g g = 0

Para achar os pontos de máximo/mínimo.

Passo 2

Vamos começar calculando o vetor ∇ f :

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z = 2 x , 2 y , 4 z

Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor ∇ g :

∇ g = ∂ g ∂ x , ∂ g ∂ y , ∂ g ∂ z = 1,2 , 3

E pronto, já temos os gradientes!

Passo 3

Agora, vamos substituir ∇ f e ∇ g no sisteminha ∇ f = λ ∇ g g = 0 , o que nos fornece:

2 x , 2 y , 4 z = λ 1,2 , 3 x + 2 y + 3 z - 4 = 0

Lembra-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:

2 x = λ 2 y = 2 λ 4 z = 3 λ x + 2 y + 3 z - 4 = 0

Agora, para resolver, o mais sensato é isolar x , y e z nas três primeiras equações:

x = λ 2 y = λ z = 3 4 λ

Substituindo isto na última equação do sisteminha, ficamos com

λ 2 + 2 λ + 3 3 4 λ - 4 = 0

Cuja única solução é λ = 16 19 . Assim, voltando atrás um pouco, recuperamos:

x = 8 19 y = 16 19 z = 12 19

Assim, a f no ponto fica

f = x 2 + y 2 + 2 z 2 = 8 19 2 + 16 19 2 + 2 12 19 2 = 608 19 ⋅ 19 = 32 19

Portanto a superfície de nível procurada é dada por x 2 + y 2 + 2 z 2 = 32 19 e o ponto de tangência é   8 19 , 16 19 , 12 19 .

Resposta

x 2 + y 2 + 2 z 2 = 32 19

8 19 , 16 19 , 12 19

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