Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 16.5 - Ex. 20
Deseja-se construir um paralelepípedo-retângulo com área total de 100. Determirar as dimensões da caixa para o volume ser máximo.
Passo 1
Um enunciado mais claro para este problema seria: “Para uma caixa de lados , e , maximize o volume , sendo a área superficial constante”. Aí pronto! Matamos o enunciado!
Uma representação do problema nos ajudará a desenvolver melhor a solução:
Vemos que a área total é simplesmente dada por .
Em temos de nomenclatura, neste exercício identificamos:
Lembrando que a sempre vai ser a função que queremos minimizar/maximizar e sempre representará uma restrição na forma (no caso, a área deve ser sempre ).
Agora, devemos resolver o sisteminha
Para achar os pontos de máximo/mínimo.
Passo 2
Vamos começar calculando o vetor :
Ótimo! Agora façamos o mesmo para o vetor :
E pronto, já temos os gradientes!
Passo 3
Agora, vamos substituir e no sisteminha , o que nos fornece:
Lembre-se que este sisteminha na verdade representa 4 equações:
Sisteminha complicado! Vamos dividir a primeira equação pela segunda. O resultado é
O que implica de imediato que .
Do mesmo modo, dividindo a terceira equação pela primeira, achamos
O que, tomando , nos leva de imediato até . Ou seja, todos os lados devem ter o mesmo valor, digamos ! Mas, qual valor?? Basta substituir na equação que sobrou:
Ou seja, temos que a caixa de maior volume será um cubo de lado igual a !
Resposta
Cubo de lado