Enunciado
Cálculo - Um curso de Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - Hamilton Luiz Guidorizzi- Ed: 5º - Capítulo 14.1 - Ex. 9
9. Seja , com , , e constantes. Verifique que
.
Passo 1
Primeiramente vamos calcular .
Lembrando que , vamos fazer aos poucos e calcular a derivada primeira.
Para não enrolar, vamos fazer algumas pequena mudanças de variáveis.
Chamaremos e já calcularemos sua respectivas derivadas:
. Aplicando a regra da cadeia, .
Ficamos, assim, com:
Aplicando a regra do produto:
)
Substituindo, ficamos com:
)
Chamando, agora, e calculando sua derivada:
Ficamos, agora, com:
Calculando, por fim, nesse passo:
)
Substituindo, ficamos com:
)
Ou seja:
(i)
Passo 2
Agora vamos calcular .
Faremos as mesmas mudanças de variáveis usadas acima, porém prestando atenção porque agora a derivada é em x.
. Aplicando a regra da cadeia, .
Ficamos, assim, com:
Aplicando a regra do produto:
)
Substituindo, ficamos com:
)
Mudando as variáveis e calculando suas derivadas:
Ficamos, agora, com:
Calculando, por fim, nesse passo:
)
Substituindo, ficamos com:
)
Ou seja:
(ii)
Resposta
Comparando (i) e (ii), verificamos que
.