Determine x tal que x ∈ R e cos^2(x + a) + cos^2(x - a) = 1

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Vamos resolver essa equação utilizando a soma de cossenos e uma relação entre o cosseno de um ângulo com o cosseno do dobro desse mesmo ângulo. Primeiro é importante lembrarmos desses artifícios matemáticos.

Relação do cosseno de um ângulo com o cosseno do seu dobro:

cos ⁡ 2 θ = cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

1 + cos ⁡ 2 θ = 1 + cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

1 + cos ⁡ 2 θ = ( cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ ) + cos 2 ⁡ θ - sen 2 ⁡ θ

1 + cos ⁡ 2 θ = 2 cos 2 ⁡ θ

cos 2 ⁡ θ = 1 + cos ⁡ 2 θ 2  

E a soma de cossenos:

cos ⁡ w + cos ⁡ v = 2 ∙ cos ⁡ w + v 2 ∙ cos ⁡ w - v 2

É importante também lembrar do ciclo trigonométrico, como podemos ver abaixo.

Simbora!

Passo 2

cos 2 ⁡ ( x + a ) + cos 2 ⁡ ( x - a ) = 1

1 + cos ⁡ 2 x + 2 a 2 + 1 + cos ⁡ 2 x - 2 a 2 = 1

1 + cos ⁡ 2 x + 2 a + 1 + cos ⁡ 2 x - 2 a = 2

cos ⁡ 2 x + 2 a + cos ⁡ 2 x - 2 a = 0

Utilizando a soma dos cossenos, onde: w = 2 x + 2 a   v = 2 x - 2 a

Assim, a equação fica como:

2 ∙ cos ⁡ 4 x 2 ∙ cos ⁡ 4 a 2 = 0

2 ∙ cos ⁡ 2 x ∙ cos ⁡ 2 a = 0

Admitindo que cos ⁡ 2 a = 0 , para a igualdade ser satisfeita:

cos ⁡ 2 x = 0 → 2 x = π 2 → x = π 4 + 2 k π

Resposta

x = π 4 + 2 k π

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