Resolva as seguintes equações para x ∈ R:

a) sen^4(x) + cos^4(x) = 5/8

b) sen^6(x) + cos^6(x) = 5/8

c) sen^4(x) + cos^4(x) = 1/2

d) sen^6(x / 2) + cos^6(x / 2) = 7 / 16

e) sen^3(x) + cos^3(x) = 1

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Para resolver essa equação vamos relembrar algumas informações importante.

É necessário lembrar do ciclo trigonométrico, como podemos ver abaixo.

E da relação fundamental da trigonometria:

sen^2 theta + cos^2 theta = 1

Simbora! Fazer a questão!

Passo 2

Na letra D temos outro tipo de equação. Vamos usar o mesmo método da letra B pra resolvê-la.

sen^6 (x)/(2) + cos^6 (x)/(2) = 7 // 16

De acordo com a teoria encontrada no livro:

sen^6 x + cos^6 x = (sen^2 x + cos^2 x) (sen^4 x - sen^2 x * cos^2 x + cos^4 x)

sen^6 x + cos^6 x = (sen^2 x + cos^2 x) (sen^4 x - sen^2 x * cos^2 x + cos^4 x)

sen^6 x + cos^6 x = 1 * (sen^4 x + cos^4 x - sen^2 x * cos^2 x)

sen^6 x + cos^6 x = ( sen^4 x + cos^4 x ) - sen^2 x * cos^2 x

Lembrando da letra A, onde descobrimos um termo equivalente a soma da quarta potência do seno e cosseno.

sen^6 x + cos^6 x = (1 - (sen^2 2 x)/(2)) - sen^2 x * cos^2 x

Para substituir esse produto quadrado de seno e cosseno iremos utilizar mesma lógica desenvolvida na letra A.

sen^6 x + cos^6 x = (1 - (sen^2 2 x)/(2)) - (sen^2 2 x)/(4)

sen^6 x + cos^6 x = 1 - (3 * sen^2 2 x)/(4)

Onde x é um ângulo qualquer.

Beleza, agora vamos substituir na equação da letra D.

Passo 3

sen^6 (x)/(2) + cos^6 (x)/(2) = 7 // 16

1 - (3 * sen^2 x)/(4) = (7)/(16)

(3 * sen^2 x)/(4) = 1 - (7)/(16)

(3 * sen^2 x)/(4) = (16 - 7)/(16)

sen^2 x = (9)/(12)

sen x = +- (sqrt(3))/(2)

Então, temos duas possibilidades:

Primeira para um seno positivo.

sen x = + (sqrt(3))/(2)

Esse valor de seno corresponde a de um ângulo notável, no caso, 60 graus.

sen x = + (sqrt(3))/(2) -> x = (pi)/(3) + k pi

Segunda para um seno negativo.

sen x = - (sqrt(3))/(2)

sen x = - (sqrt(3))/(2) -> x = (2 pi)/(3) + k pi

E aí? Prontos pra letra E?

Resposta

a ) x = (pi)/(3) + k pi ; x = (2 pi)/(3) + k pi

Exercícios de Livros Relacionados