Resolva as seguintes equações para x ∈ ℝ :

a) sen^4(x) + cos^4(x) = 5/8

b) sen^6(x) + cos^6(x) = 5/8

c) sen^4(x) + cos^4(x) = 1/2

d) sen^6(x/2) + cos^6(x/2) = 7 / 16

e) sen^3(x) + cos^3(x) = 1

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Para resolver essa equação vamos relembrar algumas informações importante.

É necessário lembrar do ciclo trigonométrico, como podemos ver abaixo.

E da relação fundamental da trigonometria:

sen^2 theta + cos^2 theta = 1

Simbora! Fazer a questão!

Passo 2

Na letra B temos outro tipo de equação. Dessa vez iremos usar outro método para resolvê-la.

sen^6 x + cos^6 x = 5 // 8

De acordo com a teoria encontrada no livro:

sen^6 x + cos^6 x = (sen^2 x + cos^2 x) - (sen^4 x - sen^2 x * cos^2 x + cos^4 x)

sen^6 x + cos^6 x = (sen^2 x + cos^2 x) (sen^4 x - sen^2 x * cos^2 x + cos^4 x)

sen^6 x + cos^6 x = 1 * (sen^4 x + cos^4 x - sen^2 x * cos^2 x)

sen^6 x + cos^6 x = ( sen^4 x + cos^4 x ) - sen^2 x * cos^2 x

Lembrando da letra A, onde descobrimos um termo equivalente a soma da quarta potência do seno e cosseno.

sen^6 x + cos^6 x = (1 - (sen^2 2 x)/(2)) - sen^2 x * cos^2 x

Para substituir esse produto quadrado de seno e cosseno iremos utilizar mesma lógica desenvolvida na letra A.

sen^6 x + cos^6 x = (1 - (sen^2 2 x)/(2)) - (sen^2 2 x)/(4)

sen^6 x + cos^6 x = 1 - (3 * sen^2 2 x)/(4)

Ok! Agora vamos substituir na equação da letra B.

Passo 3

sen^6 x + cos^6 x = 5 // 8

1 - (3 * sen^2 2 x)/(4) = (5)/(8)

(3 * sen^2 2 x)/(4) = 1 - (5)/(8)

(3 * sen^2 2 x)/(4) = (8 - 5)/(8)

sen^2 2 x = (1)/(2)

sen 2 x = +- (1)/(sqrt(2))

Racionalizando, obtemos:

sen 2 x = +- (sqrt(2))/(2)

Então, temos duas possibilidades:

Primeira para um seno positivo.

sen 2 x = + (sqrt(2))/(2)

Esse valor de seno corresponde a de um ângulo notável, no caso, 45 graus.

sen 2 x = + (sqrt(2))/(2) -> 2 x = (pi)/(4) -> x = (pi)/(8) + k pi

Segunda para um seno negativo.

sen 2 x = - (sqrt(2))/(2)

sen 2 x = - (sqrt(2))/(2) -> 2 x = (5 pi)/(4) -> x = (5 pi)/(8) + k pi

Simbora pra letra C!

Resposta

a ) x = (pi)/(8) + k pi ; x = (5 pi)/(8) + k pi

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