Enunciado

Resolva as seguintes equações para x ϵ R :

a) sen^4 x + cos^4 x = 5 // 8

b) sen^6 x + cos^6 x = 5 // 8

c) sen^4 x + cos^4 x = 1 // 2

d) sen^6 (x)/(2) + cos^6 (x)/(2) = 7 // 16

e) sen^3 x + cos^3 x = 1

Passo 1

Opa galerinha, tudo certo?

Para resolver essa equação vamos relembrar algumas informações importante.

É necessário lembrar do ciclo trigonométrico, como podemos ver abaixo.

E da relação fundamental da trigonometria:

sen^2 theta + cos^2 theta = 1

Simbora! Fazer a questão!

Passo 2

Começando pela letra A.....

sen^4 x + cos^4 x = 1 // 2

De acordo com a teoria encontrada no livro:

sen^4 x + cos^4 x = (sen^2 x + cos^2 x)^2 - 2 * sen^2 x * cos^2 x

Pela relação fundamental da trigonometria, o termo dentro dos parênteses equivale a 1. Assim:

sen^4 x + cos^4 x = 1^2 - 2 * sen^2 x * cos^2 x

Já o produto de seno e cosseno pode ser transformado em um seno da soma. Vamos deixar o 2 de fora e focar no produto das funções trigonométricas.

sen^4 x + cos^4 x = 1^2 - 2 * ((sen 2 x)/(2))^2

sen^4 x + cos^4 x = 1 - 2 ⃥ * (sen^2 2 x)/(4 ⃥)

sen^4 x + cos^4 x = 1 - (sen^2 2 x)/(2)

Beleza, então vamos substituir isso na equação da letra A.

Passo 3

sen^4 x + cos^4 x = 1 // 2

1 - (sen^2 2 x)/(2) = (1)/(2)

(sen^2 2 x)/(2) = 1 - (1)/(2)

(sen^2 2 x)/(2) = (2 - 1)/(2)

sen^2 2 x = 1

sen 2 x = +- 1

Então, temos duas possibilidades:

Primeira para um seno positivo.

sen 2 x = + 1

Esse valor de seno corresponde a de um ângulo notável, no caso, 90 graus.

sen 2 x = + 1 -> 2 x = (pi)/(2) -> x = (pi)/(4) + k pi

Segunda para um seno negativo.

sen 2 x = - 1

Esse valor de seno corresponde ao ângulo 270 graus.

sen 2 x = - 1 -> 2 x = (3 pi)/(2) -> x = (3 pi)/(4) + k pi

Vamos pra letra D!

Resposta

a ) x = (pi)/(4) + k pi ; x = (3 pi)/(4) + k pi

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