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Enunciado

Cálculo - Boyce - Equações Diferenciais - Ed: 10º - Capítulo 9.4 - Ex. 4c

Para cada ponto crítico, encontre o sistema linear correspondente. Encontre os autovalores e autovetores do sistema linear; classifique cada ponto crítico em relação ao tipo e determine se é assintoticamente estável, estável ou instável.

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você?? Vamos analisar o que a nossa questão nos pede e matar essa em 10 minutos?? Bora. Bom, nosso enunciado nos pede para encontrarmos e classificarmos os pontos críticos das nossas equações. Parece muita coisa, mas é tranquilo. Partiu??

Passo 2

Ok, nosso primeiro passo vai ser montar o Jacobiano do nosso cmapo vetorial.

J =   1,5 - x - y - x - y / 8 0,75 - x / 8 - 2 y

Para os valores iguais a zero, temos os seguintes valores críticos:

x ( 1,5 - 0,5 x - y ) = 0

y 0,75 -   y - 0,125 x = 0

Passo 3

Pronto!! Agora é só substituir esses valores no Jacobiano e achar os autovalores e autovetores!!

J 0   ,   0 =   3 2 0 0 3 4     ∴       r 1 = 3 2   ; r 2 = 3 4     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = 0 1   → i n s t á v e l

J 0   , 3 4 =   3 4 0 - 3 32 - 3 4     ∴       r 1 = 3 4   ; r 2 = - 3 4     ∴       ξ 1 = - 1 6 1   ;   ξ 2 = 0 1   → i n s t á v e l

J 3   ,   0 =   - 3 2 - 3 0 3 8     ∴       r 1 = - 3 2   ; r 2 = 3 8     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = - 8 5   → i n s t á v e l

J 2   , 1 2 = - 1 - 2 - 1 16 - 1 2       ∴       r 1 = - 3 + 3 4   ; r 2 = - 3 - 3 4     ∴       ξ 1 = 1 - 1 + 13 8   ;   ξ 2 = 0 - 1 + 13 8   → i n s t á v e l

Resposta

J 0   ,   0 =   3 2 0 0 3 4     ∴       r 1 = 3 2   ; r 2 = 3 4     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = 0 1   → i n s t á v e l

J 0   , 3 4 =   3 4 0 - 3 32 - 3 4     ∴       r 1 = 3 4   ; r 2 = - 3 4     ∴       ξ 1 = - 16 1   ;   ξ 2 = 0 1   → i n s t á v e l

J 3   ,   0 =   - 3 2 - 3 0 3 8     ∴       r 1 = - 3 2   ; r 2 = 3 8     ∴       ξ 1 = 1 0   ;   ξ 2 = - 8 5   → i n s t á v e l

J 2   , 1 2 = - 1 - 2 - 1 16 - 1 2       ∴       r 1 = - 3 + 3 4   ; r 2 = - 3 - 3 4     ∴       ξ 1 = 1 - 1 + 13 8   ;   ξ 2 = 0 - 1 + 13 8   → i n s t á v e l

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