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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.2 - Ex. 42

Determine a função cuja derivada é r ’ t = sec ⁡ t * t g t - 1   e cuja curva passe pelo ponto P ( 0 ,   0 ) .

Passo 1

Queremos encontrar uma função r t tal que sua derivada seja r ' t = sec ⁡ t * t g t - 1 , além disso, a nossa função deve passar pelo ponto P, ou seja, esse ponto deve satisfazer a lei de formação de f ( t ) .

Passo 2

Tomemos então uma função g t = sec ⁡ t - t se a derivamos obtemos g ' t = sec ⁡ t * t g t - t podemos observar, então, que f   e   g possuem mesma derivada. Sendo assim, podemos utilizar o corolário que vem do teorema do valor médio e diz o seguinte: se encontrarmos uma função g t tal que r ' t = g ' ( t ) para todo valor de x em um intervalo, então, existe uma constante C tal que r t = g t + C .

Passo 3

Da conclusão do corolário podemos obter o seguinte:

r t = g t + C

r t = sec ⁡ t - t + C

Passo 4

Como a Função passa pelo ponto P ( 0 , 0 ) podemos concluir que r 0 = 0 . Assim,

r 0 = sec ⁡ 0 - 0 + C

0 = 1 + C

C =   - 1

Resposta

∴ r t = sec ⁡ t - t - 1

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