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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 20

Determine o valor da derivada

((d y)/(d x)| x = sqrt(3) , y = 1 - (1)/(x)

Passo 1

Primeiro, devemos saber que definimos a derivada de uma função como sendo:

(d)/(d x) f ( x ) = underset(h -> 0)(lim) (f ( x + h ) - f ( x ))/(h)

Passo 2

Resolvendo a derivada:

(d)/(d x) f ( x ) = underset(h -> 0)(lim) (1 - (1)/(x + h) - (1 - (1)/(x)))/(h)

(d)/(d x) f ( x ) = underset(h -> 0)(lim) ((1)/(x) - (1)/(x + h))/(h)

(d)/(d x) f ( x ) = underset(h -> 0)(lim) (((1)/(x) * (x + h)/(x + h)) - ((1)/(x + h) * (x)/(x)))/(h)

(d)/(d x) f ( x ) = underset(h -> 0)(lim) (h)/(h * ( x + h ) * x)

(d)/(d x) f ( x ) = underset(h -> 0)(lim) (1)/(( x + h ) * x)

(d)/(d x) f ( x ) = (1)/(( x + 0 ) * x)

(d)/(d x) f ( x ) = (1)/(x^2)

Passo 3

Para encontrar a derivada no ponto x = sqrt(3) , basta substituir x no resultado calculado anteriormente

(d)/(d x) f ( sqrt(3) ) = (1)/(( sqrt(3) )^2) = (1)/(3)

Resposta

(d)/(d x) f ( sqrt(3) ) = (1)/(3)

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