Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.2 - Ex. 17

Derive as funções. Depois, determine uma equação para a tangente no ponto indicado no gráfico da função.

y   =   f ( x )   =   8   x   -   2       ,     ( x , y )   =   ( 6,4 )

Passo 1

Primeiro, devemos saber que definimos a derivada de uma função como sendo:

d d x f ( x )   =   lim h → 0 ⁡   f ( x   +   h )   -   f ( x ) h

Passo 2

Resolvendo a derivada:

d d x f ( x )   =   lim h → 0 ⁡   8   x   +   h -   2   -   8   x   -   2 h

d d x f ( x )   =   lim h → 0 ⁡   8   x   +   h -   2   ∙ x   -   2 x   -   2 -   8   x   -   2   ∙ x   +   h -   2 x   +   h -   2 h

d d x f ( x )   =   lim h → 0 ⁡   8   ( x   -   2   -   x   +   h -   2 ) h ∙ x   +   h -   2 ∙ x   -   2

Para desenvolver a expressão, é necessário lembrar que ( a + b ) ( a - b )   =   a 2   -   b 2

d d x f ( x )   =   lim h → 0 ⁡   8   ( x   -   2   -   x   +   h -   2 ) h ∙ x   +   h -   2 ∙ x   -   2   ∙   ( x   -   2   +   x   +   h -   2 ) ( x   -   2   +   x   +   h -   2 )

d d x f ( x )   =   lim h → 0 ⁡   8   [ ( x   -   2 )   -   ( x   + h   - 2 ) ] h ∙ x   +   h -   2 ∙ x   -   2 ∙ ( x   -   2   +   x   +   h -   2 )    

d d x f ( x )   =   lim h → 0 ⁡   - 8   h h ∙ x   +   h -   2 ∙ x   -   2 ∙ ( x   -   2   +   x   +   h -   2 )

d d x f ( x )   =   lim h → 0 ⁡   - 8   x   +   h -   2 ∙ x   -   2 ∙ ( x   -   2   +   x   +   h -   2 )

d d x f ( x )   =   - 8   x   +   0 -   2 ∙ x   -   2 ∙ ( x   -   2   +   x   +   0 -   2 )

d d x f ( x )   =   - 8   x   -   2 ∙ x   -   2 ∙ ( x   -   2   +   x   -   2 )

d d x f ( x )   =   - 8   ( x   -   2 )   ∙ ( x   -   2   +   x   -   2 )

d d x f ( x )   =   - 8   ( x   -   2 )   ∙ 2 ( x   -   2   )

d d x f ( x )   =   - 4   ( x   -   2 ) 3 2

Passo 3

Para encontrar a equação da reta tangente, devemos lembrar que a derivada da função é o coeficiente angular da reta tangente. Logo, podemos escrever a equação da seguinte forma:

y   -   y '   =   d d x f ( x ' )   ∙   ( x   -   x ' )

Passo 4

Sabendo que y '   =   4 e que x '   =   6

y   -   4   =     d d x f ( 6 )   ∙   ( x   -   6 )

y   =     - 4   ( 6   -   2 ) 3 2   ∙   ( x   -   6 )   +   4

y   =     - 4 x   +   24   ( 4 ) 3 2     +   4

y   =     - 4 x   +   24   4   ∙   4     +   4

y   =     - x   +   6     4     +   4

y   =     - x   +   6     2     +   4

y   =     - x       2     +   7

Resposta

A reta tangente no ponto ( 6,4 ) pode ser escrita como:

y   =     - x       2     +   7

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Se x^((1)/(3)) + y^((1)/(3)) = 4 , determine d^2 y // d x^2 no ponto ( 8 , 8 ) .
Determine o valor de d r // d t em t = 0 , se r = (theta^2 + 7)^((1)/(3)) e theta^2 t + theta = 1
Determine o valor de d w // d s em s = 0 se w = s e n (e^(sqrt(r))) e r = 3 s e n (s + pi // 6) .
64. Ache o volume do sólido de revolução gerado pela rotação da região limitada pela curva y = 2 - x e pelas retas x = 1 e x = 4 em torno do eixo x.
55. Quanto tempo levará para se duplicar um investimento se os juros são pagos a uma taxa de 8% ao ano compostos continuamente?