Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.7 - Ex. 22
22. Determine o valor de a para o qual a região limitada pela cardioide tem uma área de unidades de área.
Passo 1
Para encontrarmos o valor de a, basta calcularmos a área da equação dada e igualarmos ao valor dado no enunciado.
Para isso, primeiro é ideal fazer o esboço do gráfico da equação dada para observar quais são os limites de . Após fazer o esboço da equação , podemos utilizar o que foi mostrado ao longo da seção quando queremos saber a área de uma região dada em coordenadas polares, que nos diz que para calcular a mesma podemos utilizar que a área da região é : .
Em muitos problemas também podemos utilizar o conceito de simetria.
Passo 2
Assim, o esboço do gráfico da equação dada é:
Como a curva é simétrica com relação ao eixo polar, tomamos os limites de de 0 até , o que determina a área da região limitada pela curva acima do eixo polar. Entao, para determinar a área de toda região, basta multiplica-la por 2.
Passo 3
Sendo assim, a área é:
Passo 4
Como , então temos que :