Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 10.8 - Ex. 38
A órbita de um planeta é elíptica com equação onde o Sol está na origem. Ache a distância média entre o planeta e o Sol em relação a .
Passo 1
A questão quer saber o valor médio de , onde
É importante lembrar que a valor médio de uma função num intervalo é
Neste caso, a integral será feita em , mas note que não precisamos integrar no intervalo de a : como a elipse é simétrica entre os intervalos e , basta usarmos o primeiro intervalo:
Assim,
Passo 2
Para resolver essa integral, aconselho você dar uma olhadinha no teorema 9.7.1 da seção 9.7 que usa a substituição . Nessa substituição:
Quando , temos que ; já para , temos que . Assim, temos que
Portanto,
Assim,
onde
Como se trata de uma elipse, temos que , de modo que .
Passo 3
Para acharmos vamos fazer a substituição , com :
A primitiva dessa integral é arco tangente:
Sei que rigorosamente eu devia ter feito no lugar de , mas nessa altura isso é o de menos...
Assim,
Desta forma,
Logo, chegamos que o valor médio de é