Determine o valor de a que torna a seguinte função derivável para todos os valores de x .

g x = a x , x 2 - 3 x , s e   x < 0 s e   x ≥ 0

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é derivar a função de g x :

g ' = lim h → 0 ⁡ g x 0 + h - g x 0 h

g ' = lim h → 0 ⁡ g 0 + h - g 0 h

g ' = lim h → 0 ⁡ g h - g 0 h

g ' = lim h → 0 ⁡ g h - 0 2 - 3 ∙ 0 h

g ' = lim h → 0 ⁡ g h h

Passo 2

Aplicando os limites laterais em g ' x :

g ' = lim h → 0 + ⁡ h 2 - 3 h h = lim h → 0 + ⁡ h h - 3 h = lim h → 0 + ⁡ h - 3 = - 3

g ' = lim h → 0 - ⁡ a h h = a

Para a função ser derivável em todos os pontos, os limites laterais têm que ser iguais, assim:

a = - 3

Pronto!!!

Resposta

a = - 3

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