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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 3.3 - Ex. 69

Determine o valor de a que torna a seguinte função derivável para todos os valores de x .

g x = a x , x 2 - 3 x , s e   x < 0 s e   x ≥ 0

Passo 1

A primeira coisa que precisamos fazer é derivar a função de g x :

g ' = lim h → 0 ⁡ g x 0 + h - g x 0 h

g ' = lim h → 0 ⁡ g 0 + h - g 0 h

g ' = lim h → 0 ⁡ g h - g 0 h

g ' = lim h → 0 ⁡ g h - 0 2 - 3 ∙ 0 h

g ' = lim h → 0 ⁡ g h h

Passo 2

Aplicando os limites laterais em g ' x :

g ' = lim h → 0 + ⁡ h 2 - 3 h h = lim h → 0 + ⁡ h h - 3 h = lim h → 0 + ⁡ h - 3 = - 3

g ' = lim h → 0 - ⁡ a h h = a

Para a função ser derivável em todos os pontos, os limites laterais têm que ser iguais, assim:

a = - 3

Pronto!!!

Resposta

a = - 3

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Existe algum valor de b que torne f x = x + b , x0 cos ⁡ x , x ≥ 0 contínua em x = 0 ? Derivável em x = 0 ? Justifique sua resposta.
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d
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Nos exercicos de 1 a 20, faça o seguinte: (a) Trace um esboço gráfico da função; (b) determine se f é continua em x 1 ; (c) calcule f ’ - ( x 1 ) e f ’ + ( x 1 ) , se existirem; (d) determine se f é d