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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.1 - Ex. 56

Determine os valores extremos (absoluto e local) das funções e onde ocorrem:

y = x ³ ( x - 5 ) ²

Passo 1

Sabendo que um ponto crítico é um valor extremo de uma função, a derivada da função deve ser igual a 0, uma vez que representa a inclinação de uma reta tangente que passa por esse ponto.

Encontrados os pontos críticos, calculamos a segunda derivada e igualamos a 0, para determinar se os pontos são de máximo ou mínimo.

Passo 2

Vamos derivar a equação acima usando a regra do produto e a da cadeia:

y ' = 3 x 2 x - 5 2 + x ³ ( 2 x - 10 )

Passo 3

Antes de descobrirmos os pontos críticos, vamos fatorar o resultado anterior para facilitar a resolução dela quando y ' = 0 . Tomando os termos de menor expoente de cada lado da expressão e pondo-os em evidência, teremos:

y ' = x 2 2 x - 10 3 x - 5 2 + x

y ' = x 2 2 x - 10 3 x - 15 2 + 2 x 2

y ' = x 2 2 x - 10 5 x - 15 2

Passo 4

Agora, calculamos com y ' = 0 a expressão anteriormente fatorada.

x 2 2 x - 10 5 x - 15 2 = 0

Como se trata de um produto, igualamos cada uma das parcelas individualmente a 0.

x 2 = 0

2 x - 10 = 0

5 x - 15 2 = 0

x 1 = 0       x 2 = 5       x 3 = 3

Passo 5

Substituindo os valores na equação original, teremos:

y 0 = 0 3 0 - 5 2 = 0

y 5 = 5 3 5 - 5 2 = 0

y 3 = 3 3 3 - 5 2 = 108

Passo 6

Antes de calcularmos a segunda derivada, vamos simplificar a expressão encontrada para facilitar os cálculos:

y ' = x 2 2 x - 10 5 x - 15 2

y ' = 2 x 3 - 10 x 2 5 x - 15 2

y ' = 10 x 4 - 30 x 3 - 50 x 3 + 150 x 2 2 = 2 5 x 4 - 40 x 3 + 75 x 2 2

y ' = 5 x 4 - 40 x 3 + 75 x 2

Derivando, temos:

y ' ' = 20 x 3 - 120 x 2 + 150 x

Fazendo y ' ' = 0

10 x 2 x 2 - 12 x + 15 = 0

10 x = 0

x 1 = 0

2 x 2 - 12 x + 15 = 0

Δ = 24

- - 12 ± 24 2 × 2

x 2 = 4,224       x 3 = 1,77

Temos um ponto de inflexão, que indica a mudança de concavidade, e nos resta analisar os outros dois pontos.

Resposta

M u d a n ç a   d e   c o n c a v i d a d e   e m   x = 0 ,   M á x i m o   L o c a l   e m   x = 3     e     M í n i m o   L o c a l   e m   x = 5

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