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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.5 - Ex. 31

Calcule as integrais nos Exercícios 17-66.

int (sen (2 t + 1))/(cos^2 (2 t + 1)) d t

Passo 1

A boa quando você ver uma função dentro da outra é pensar em substituição, chamando a função de dentro de u !

Aqui no nosso caso temos a composta de t^2 com cos ( 2 t + 1 ) , então vamos fazer

u = cos ( 2 t + 1 )

Passo 2

Calcular o d u é só derivar a expressão dada e colocar um d t no final:

u = (cos ( 2 t + 1 )) -> d u = (cos ( 2 t + 1 ))^' d t = (- 2 sen ( 2 t + 1 )) d t

Passo 3

Agora é só substituir tudo na integral

int (sen (2 t + 1))/(cos^2 (2 t + 1)) d t

Temos então que o termo no denominador é o próprio u elevado ao quadrado

int (sen (2 t + 1))/(u^2) d t

Agora e o resto da integral? O que fazer com ele? Muitas vezes vamos ter que manipular a expressão do d u . Vem comigo

d u = (- 2 sen ( 2 t + 1 )) d t -> (- (1)/(2)) d u = (- (1)/(2)) ((- 2 sen ( 2 t + 1 )) d t) -> (- (1)/(2)) d u = sen ( 2 t + 1 ) d t

Agora podemos substituir na integral :D

int (sen (2 t + 1))/(u^2) d t = int (1)/(u^2) (- (1)/(2) d u) = - (1)/(2) int (d u)/(u^2)

Passo 4

Agora sim podemos usar a tabela de primitivas e ficar com:

- (1)/(2) int (d u)/(u^2) = - (1)/(2) int u^(- 2) d u = (- (1)/(2)) (- u^(- 1)) + C = (1)/(2 u) + C

OBS: não vai esquecer dessa constante de integração hem!

Agora precisamos voltar para a variável inicial do problema. Mas isso é mole mole porque é só lembrar de quem chamamos de u lá no início.

int (sen (2 t + 1))/(cos^2 (2 t + 1)) d t = (1)/(2 cos ( 2 t + 1 )) + C

Resposta

(1)/(2 cos ( 2 t + 1 )) + C

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