Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 5.6 - Ex. 78
Determine as áreas das regiões compreendidas entre as retas e as curvas nos Exercícios 73-80.
78.
Passo 1
Inicialmente, o que precisamos fazer é plotar esses gráficos para determinarmos as regiões compreendidas entre eles, ok? Se plotarmos os gráficos, teremos:
No qual a função em verde é e a função em azul é . Assim como discutido na seção 6 do George, os intervalos de integração para uma são , que são intervalos verticais (em ), não mais horizontais (em ). Além disso, temos que descobrir os pontos em que as funções se encontram para descobrirmos nosso intervalo de integração, beleza? Sabendo dessas informações, nosso problema fica bem mais tranquilo! Então bora lá!
Passo 2
Igualando as duas funções para descobrirmos seus pontos de encontro, teremos:
Para descobrirmos quais são os pontos para que essa igualdade seja válida, basta pensarmos um pouquinho que notaremos o seguinte: como os expoentes de são pares, então os únicos pontos possíveis para que essa soma resulte em é se , não é mesmo? Então esses valores são as soluções dessa equação!
Passo 3
Para calcularmos a área de uma região em relação à , assim como discutido na seção 6 do George, o que precisamos descobrir é quais são as curvas à direita e à esquerda. Depois de descoberto isso, basta fazermos:
Onde, nesse caso, seria a curva à direita e seria a curva à esquerda.
Se observarmos o gráfico, notaremos que a função mais à direita é e a função mais à esquerda é . Escrevendo nossa integral, teremos:
Para resolvermos essa integral precisaremos utilizar a seguinte regra:
Então: