Enunciado
Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 11.Revisão - Ex. 48
Determine os valores de para os quais a seguinte integral imprópria converge.
Passo 1
Vamos começar calculando:
Vamos fazer:
Colocando o limite da integral imprópria, vamos ter:
E calcular integral separadamente.
Então vamos começar por ela.
Passo 2
Para isso, primeiro vamos fazer:
Mas não temos só no denominador, temos , vamos usar então a definição de log, para achar o valor de em função de
A nossa integral vai ficar:
Vamos separar em dois casos, quando for igual a e quando for diferente. Isso porque se ele for igual a , não sobra no denominador.
Então ficaria:
Essa integral em fica
Voltando para
Vamos ter então:
Vamos ver agora quando
Passo 3
Para resolver essa integral, vamos usar integração por parte.
Vamos ter, pelo LIATE:
Nossa integral fica:
Voltando para
Vamos ter:
Passo 4
Vamos resolver naqueles dois casos:
Primeiro
Entao para essa interal diverge.
Passo 5
Agora
Para resolver aquele limite, vamos olahr ele separado, tirando as contantes e tudo, ficando:
Vamos ter que o nosso numerador vai para se e vai para se
Vamos analisar esses dois casos:
Passo 6
Se vamos ter:
Isso vai fazer aquel ir para infinito, então nosso limite fica:
Precisamos aplicar L’Hospital:
Como , vamos ter:
Então nesse intervalo ela converge.
Passo 7
Se vamos ter:
Isso vai fazer aquel ir para infinito, então nosso limite fica:
Então nesse intervalo ela diverge.