Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.8 - Ex. 58
Encontre os valores de para os quais a integral converge e calcule a integral para estes valores de .
Passo 1
Fala aí! tudo certinho?
Nesse problema temos que determinar o valor de em
De modo que a integral converge.
Parece complicado?
Para calcular essa integral vamos usar o método da substituição
Derivando:
Substituindo temos:
E para calcular a segunda integral vamos usar a Definição de uma Integral Imprópria do Tipo 1:
Veja só!
Passo 2
Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.
É fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:
Vamos agora calcular:
Show?
Passo 3
Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:
Vamos voltar agora a expressão original:
Se , então quando , e , assim:
se , nesse caso a integral converge, e com , quando vamos ter assim a integral diverge.
E aí! o que achou? Responde Aí!
Resposta
Os valores de para os quais a integral converge são .