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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.8 - Ex. 51

Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente.

∫ 1 ∞ x + 1 x 4 - x d x

Passo 1

Fala aí, pessoal! 😎

Nesse problema temos que usar o teorema da comparação para verificar se a integral

∫ 1 ∞ x + 1 x 4 - x d x

É convergente ou divergente...

Tem ideia decomo fazemos isso? 😬

Vamos lá, o Teorema da Comparação diz que:

Supondo que f e g são contínuas com f x ≥ g x ≥ 0 para x ≥ a :

se ∫ a ∞ f x d x é convergente, então ∫ a ∞ g x d x é convergente;

se ∫ a ∞ g x d x é divergente, então ∫ a ∞ f x d x é divergente.

Veja só! 😁

Passo 2

Temos que para x > 1 :

x + 1 x 4 - x > x + 1 x 4 > x + 1 x 2 > x x 2 = 1 x

Pronto, temos que:

∫ 1 ∞ g x d x = ∫ 1 ∞ 1 x d x

Temos que essa integral é divergente, pela equação 2 , que fala que:

∫ 1 ∞ 1 x p d x é convergente se p > 1 e divergente se p ≤ 1 .

Pronto, temos que 0 ≤ g x ≤ f x , assim ∫ 1 ∞ x + 1 x 4 - x d x é divergente.

E aí! entendeu tudo? Responde Aí! 😊

Resposta

∫ 1 ∞ x + 1 x 4 - x d x é divergente

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Use o Teorema da Comparação para determinar se o integral é convergente ou divergente. ∫ 1 ∞ 1 + sin 2 ⁡ xxd x