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Enunciado

Álgebra Linear e Geometria Analítica - Cálculo Volume 2 - 5ª Edição - James Stewart- Ed: 5º - Capítulo 12.3 - Ex. 40

Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a

a = 2 i - 3 j + k ,     b = i + 6 j - 2 k

Passo 1

Para podermos determinar o ângulo entre dois vetores, precisaremos utilizar a definição do vetor projeção. Relembrando, temos:

p r o j a b = a ⋅ b a 2 ⋅ a

Logo, precisamos calcular a norma do vetor a , obter o produto interno entre os vetores a e b e substituir na fórmula acima!

Com isto, obteremos o vetor projeção. Já o valor da projeção escalar será obtido ao obtermos o módulo deste vetor. Portanto, vamos aos cálculos!

Passo 2

Vamos começar determinando o módulo do vetor a . Desta forma,

a = 2 2 + - 3 2 + 1 2

a = 14

Agora vamos calcular o produto interno entre os dois vetores. Logo,

a ⋅ b = 2 i - 3 j + k ⋅ i + 6 j - 2 k

a ⋅ b = 2 ⋅ 1 + - 3 ⋅ 6 + 1 ⋅ - 2

a ⋅ b = 2 - 18 - 2 = - 18

Passo 3

Agora que obtemos todas as informações necessárias, vamos determinar o vetor projeção de b em a . Para isto, vamos substituir os valores encontrados na fórmula do Passo 1. Logo,

p r o j a b = a ⋅ b a 2 ⋅ a

p r o j a b = - 1 8 14 2 ⋅ 2 i - 3 j + k

p r o j a b = - 9 7 ⋅ 2 i - 3 j + k = - 8 7 i + 27 7 j - 9 7 k

Passo 4

Pronto! Agora que obtivemos o vetor projeção, vamos calcular a sua norma!

c o m p a b = p r o j a b = - 8 7 2 + 27 7 2 + - 9 7 2

c o m p a b = 874 49 = 874 7

Resposta

p r o j a b = - 8 7 i + 27 7 j - 9 7 k

c o m p a b = 874 7

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Encontre o volume do paralelepípedo de arestas u , v e w . u = 3 ,1 ,2 , v = 4 ,5 ,1 , w = ( 1 ,2 ,4 )
Sejam a = a 1 ,a 2 ,a 3 , b = b 1 ,b 2 ,b 3 , c = c 1 ,c 2 ,c 3 e d = d 1 ,d 2 ,d 3 . Mostre que a + d ∙ b × c = a ∙ b × c + d ∙ b × c
Determine se u , v e w são coplanares desde que posicionados com seus pontos iniciais coincidindo u = 5 ,- 2 ,1 , v = 4 , - 1 ,1 , w = ( 1 ,- 1 ,0 )
Em cada parte calcule a expressão, supondo que u ∙ v × w = 3 c )v ∙ w × w
Sejam u , v e w vetores não nulos com o mesmo ponto inicial no espaço tridimensional, mas tais que dois quaisquer não são colineares. Mostre que u × v × w está no plano determinado por u e v