Determine o vetor projeção e a projeção escalar de b sobre a

a = 2i - 3j + k, b = i + 6j - 2k

Passo 1

Para podermos determinar o ângulo entre dois vetores, precisaremos utilizar a definição do vetor projeção. Relembrando, temos:

p r o j a b = a ⋅ b a 2 ⋅ a

Logo, precisamos calcular a norma do vetor a , obter o produto interno entre os vetores a e b e substituir na fórmula acima!

Com isto, obteremos o vetor projeção. Já o valor da projeção escalar será obtido ao obtermos o módulo deste vetor. Portanto, vamos aos cálculos!

Passo 2

Vamos começar determinando o módulo do vetor a . Desta forma,

a = 2 2 + - 3 2 + 1 2

a = 14

Agora vamos calcular o produto interno entre os dois vetores. Logo,

a ⋅ b = 2 i - 3 j + k ⋅ i + 6 j - 2 k

a ⋅ b = 2 ⋅ 1 + - 3 ⋅ 6 + 1 ⋅ - 2

a ⋅ b = 2 - 18 - 2 = - 18

Passo 3

Agora que obtemos todas as informações necessárias, vamos determinar o vetor projeção de b em a . Para isto, vamos substituir os valores encontrados na fórmula do Passo 1. Logo,

p r o j a b = a ⋅ b a 2 ⋅ a

p r o j a b = - 1 8 14 2 ⋅ 2 i - 3 j + k

p r o j a b = - 9 7 ⋅ 2 i - 3 j + k = - 8 7 i + 27 7 j - 9 7 k

Passo 4

Pronto! Agora que obtivemos o vetor projeção, vamos calcular a sua norma!

c o m p a b = p r o j a b = - 8 7 2 + 27 7 2 + - 9 7 2

c o m p a b = 874 49 = 874 7

Resposta

p r o j a b = - 8 7 i + 27 7 j - 9 7 k

c o m p a b = 874 7

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